**Kähler構造**は、複素幾何学における非常に重要な概念で、リーマン多様体に複素構造を加えた特別な幾何学的構造です。Kähler多様体は、リーマン多様体であり、さらに複素多様体としての特性を持っているため、非常に豊かな幾何学的性質を持っています。ここではKähler構造について詳しく説明します。
### 1. **複素多様体とは**
まず、複素多様体の定義を理解することが重要です。複素多様体は、局所的に複素数の座標系を持つ多様体です。言い換えれば、複素多様体は、各点で複素数の座標系を取ることができる多様体です。複素多様体上の関数は、複素数を変数として考えることができます。
### 2. **Kähler多様体の定義**
Kähler多様体とは、**リーマン多様体**であり、かつ**複素多様体**でもあるものです。具体的には、以下の性質を持っています。
#### a) **複素構造**
Kähler多様体には、**複素構造**が存在します。複素構造とは、多様体の各点で、局所的に複素数の座標系を与えることができる構造のことです。これにより、多様体上で複素解析を行うことができるようになります。
#### b) **計量と複素構造の関係**
Kähler多様体には、**Kähler計量**という特別な計量テンソルが定義されます。この計量は、以下の2つの条件を満たします。
- **計量がリーマン計量**である：多様体上の各点で、局所的に内積を定義するリーマン計量が存在します。これにより、距離、角度、曲率などの幾何学的量を測ることができます。
- **計量が複素的に対称である**：Kähler計量は、複素数に関して対称的であり、複素構造との整合性を保っています。具体的には、計量が複素構造の作用を受けたとき、計量自体が変わらないという特性を持ちます。
#### c) **閉じた1-形式**
Kähler多様体において、計量は次の条件を満たします：
- Kähler計量 g は、**閉じた1-形式** ω によって与えられます。これは次の式で表されます：
ω = g(JX, Y)
ここで、J は複素構造を表す作用素、 X と Y はベクトル場です。特に、ω は **閉じた**1-形式であり、次の条件を満たします：
dω = 0
ここで、 d は外微分です。この条件が重要で、Kähler多様体の計量が複素構造と一致することを意味します。
### 3. **Kähler計量**
Kähler計量は、リーマン計量でありながら、複素数の構造と関係があります。この計量は、次のように表現されます：
- 計量が複素構造に適応しているため、Kähler計量は複素的に対称な性質を持ち、複素ベクトル場と調和的に関係します。
- 計量は複素構造の作用を受けても変わらず、特に計量が **自己共役**であることが重要です。
Kähler多様体は、計量がこの特別な構造を持つため、リーマン幾何学的な性質（曲率、距離、角度など）と、複素解析的な性質（複素関数、複素構造）を両立させることができます。
### 4. **Kähler多様体の例**ⁿ
- **複素射影空間**：複素射影空間 ℂℙⁿは、Kähler多様体の代表例です。これらは複素数のベクトル空間の商空間として構成され、Kähler計量を持ちます。
- **カラビヤウ多様体**：カラビヤウ多様体は、Kähler多様体であり、さらにリッチ平坦性（リッチテンソルがゼロ）を持つという特性があります。これらは物理学、特に弦理論で重要な役割を果たします。
### 5. **Kähler多様体の重要性**
Kähler多様体は、リーマン多様体の構造に複素的な性質を加えることにより、非常に強力な解析ツールを提供します。特に、次のような重要な結果を得ることができます：
- **モジュラー空間や鏡像対称性**：Kähler多様体は、弦理論や代数幾何学における鏡像対称性、モジュラー空間の解析に用いられます。
- **リーマン面と複素解析**：Kähler構造を持つ多様体では、複素解析的な手法（例えば、コホモロジーやホロノミー）が強力に使えます。
### 6. **まとめ**
Kähler多様体は、リーマン多様体でありながら、複素的な構造を持つ特別な多様体で、**Kähler計量**と呼ばれる特別な計量を使って定義されます。これにより、幾何学的構造が複素構造と調和し、リーマン幾何学と複素解析がうまく組み合わさった多様体となります。Kähler多様体は、代数幾何学、物理学（特に弦理論）など、さまざまな分野で重要な役割を果たします。
