ニュートン別冊 虚数がよくわかる

２乗してマイナスになる不思議な数

　虚数とは，「２乗するとマイナスになる数」です。中学校までに習うふつうの数では，０でない数を２乗する（２回かけあわせる）と，かならずプラスの数になります。したがって，ふつうの数では「２乗してマイナスになる数」などというものは存在しないはずです。
　ところが，現代の科学者や技術者は，虚数を駆使してさまざまな現象を調べています。虚数は現代の科学技術になくてはならない「すごい発明品」なのです。
　本書は2015年に刊行したニュートン別冊『魔法の数 虚数』に，虚数を含んだ深遠なる数式「オイラーの等式」のくわしい記事など，新たな記事を追加した増補改訂版です。人類が虚数に至るまでの数の歴史と虚数の性質，そしてその重要性をくわしく紹介した本書をぜひご一読ください。



CONTENTS
イントロダクション
人類は数の世界を拡張してきた
虚数をめぐる数学者・物理学者の歴史年表


１　古代の数
自然数の比――分数の発明
コラム 有理数の条件と，有理数がもつ興味深い性質
コラム ピタゴラスは有理数が数のすべてであると信じた
コラム 小数の表記法が生まれたのは16世紀
無理数の発見
コラム 古代メソポタミアの粘土板にきざまれた √２
コラム 古代人はこうやって平方根を作図した
コラム √２ が無理数であることの証明
コラム √２ を分数であらわす方法――連分数
ゼロの発明
負の数の歴史
コラム 方程式とは何か？
実数の完成と無限の概念


２　虚数の誕生
カルダノの問題
実数のほころび
コラム 4000年の歴史をもつ「2次方程式の解の公式」
虚数の誕生
コラム ギャンブル好きで確率論の発展にも寄与したカルダノ
虚数との格闘
虚数単位 ｉ の誕生
コラム 自然対数の底「ｅ」とは？
コラム 円周率「π」とは？
コラム 「3次方程式の解」と『アルス・マグナ』をめぐるエピソード
コラム タルタリアはどんな問題を解いた?
コラム 虚数を“使ってみせた”男 ボンベリ


３　虚数の性質
虚数の可視化と「複素数」
複素平面の不思議な性質
コラム 複素数の「偏角」，「絶対値」とは？
コラム「 カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう
虚数で解く不思議なパズル

Q&A Q1. 複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる？
Q&A Q2. 虚数に大小はある？
Q&A Q3. 「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界とは？
Q&A Q4. 「ガモフの問題」は，虚数なしでもとける？
複素平面と幾何学
コラム 複素平面と非ユークリッド幾何学


４　虚数の物理学
量子力学と虚数
「４次元時空」と虚数
ホーキング博士の「虚数時間」
量子力学と複素数
小林・益川理論と虚数
Q&A Q5. 実在しない虚数が，なぜ自然界に関わる？


５　人類の至宝 オイラーの等式
πと ｉ とｅ
三角関数
テーラー展開
虚数乗
オイラーの二つの式
まとめ
オイラーの公式は“不可欠な道具”
コラム 三角関数って何
コラム 指数関数って何
コラム 近代数学の基礎を築いた天才数学者オイラー


もっと知りたい！ 虚数
ガウスと複素平面
フラクタルと複素数
コラム 複素数ニュートン法によるフラクタル
Q&A Q6. タルタリアは，自力で公式を発見した？
Q&A Q7. －1の4乗根，8乗根，16乗根は？
Q&A Q8. 第２の虚数はある？
複素数と代数方程式
コラム 複素平面の反転と無限遠点
黄金比と正五角形と複素数
発展編――代数学の基本定理の証明