εとμの複合４

０　はじめに
１　電場と磁場の速さ
　　１　ファインマンのEB推理
　　２　EH推理による変奏
２　場の波動方程式（rot推理）

２　場の波動方程式（rot推理）

真空中のマクスウェル方程式は次の４つである。
rot H＝ε・∂E/∂t　　(1)
rot E＝－μ・∂H/∂t　(2)
div H＝0　　　　 　(3)
div E＝0　　　　 　(4)
１では、(1)と(2)の左辺を１次元に単純化した。また(2)式のマイナスを考慮せず大きさだけ着目した。そして分母を払うという操作で式を変形した。こんどはrotのまま変形していこう（教科書と同じである）。ここでも電場や磁場を消去するとき、ε（イプシロン）とμ（ミュー）は複合される。このとき導かれる式は横波に対する「波動方程式」の形になる。

まず、電場Eを消去して「磁場Hのみが現れる式」を導いてみよう。これは(1)に(2)代入する。そのままでは代入できないので、両辺のrotをとる。
(1)の両辺を入れ替える。
ε・∂E/∂t＝rot H
rotをとる。
rot(ε・∂E/∂t)＝rot rot H
右辺に公式 rot rotA＝grad div A－∇²Aを使うと
ε(∂/∂t) rot E＝grad div H－∇²H
ここにrot E＝－μ・∂H/∂t (2)とdiv H＝0 (3)を入れると
－εμ (∂²H/∂t²)＝－∇²H
整理して、∂²E/∂t²＝1/(εμ)∇²E

次に、磁場Hを消去して「電場Eのみが現れる式」を導いてみよう。これは(2)に(1)代入する。こちらも同じである。そのままでは入らないので、両辺のrotをとる。
(2)の両辺を入れ替える。
－μ・∂H/∂t＝rot E
rotをとる。
rot(－μ・∂H/∂t)＝rot rot H
右辺に公式 rot rotA＝grad div A－∇²Aを使うと
－μ(∂/∂t) rot H＝grad div E－∇²E
ここにrot H＝ε・∂E/∂t (1)とdiv E＝0 (4)を入れると
－εμ (∂²E/∂t²)＝－∇²E
整理して、∂²H/∂t²＝1/(εμ)∇²H

「磁場Hのみが現れる式」と「電場Eのみが現れる式」をまとめると
∂²H/∂t²＝1/(εμ)∇²H 　,　　∂²E/∂t²＝1/(εμ)∇²E
である。これは磁場Hも電場Eも波動方程式
∂²u/∂t²＝1/(εμ)∇²u 　,　v²＝1/(εμ)
を満たすことを示している。すなわち、磁場Hと電場Eは電磁波となって、速さv＝1/√(εμ)で伝播することを示している。