εとμの複合８

４　静電単位と電磁単位の比
５　1/√(με)とe_s/e_mの関係

４　静電単位と電磁単位の比

マクスウェルは単位と次元の問題の重要性を指摘している。
(引用はじめ)
この二つの方法（静電的な方法と電磁的な方法――引用者注）から、電気量を測る単位として二つの相異なる単位が導かれる。この二つの単位の比は重要な物理量となるので、これを測定することを提案したい。これらの単位と、空間、時間、力の単位との関係を考えてみよう。
(引用おわり、「電磁気学の単位系が難しい理由」（ＦＮの高校物理）より孫引き)

静電単位と電磁単位の比e_s/e_mを求めてみよう。
静電単位の電気量e_sの次元は電荷に対するクーロンの法則F₁=k₁・(e₁e₂)/r²から求めることができる。[e_s]=[k₁^-1/2F^1/2L]

電磁単位の電気量の次元は「磁荷に対するクーロンの法則」と「電流と磁荷の相互関係（ビオ・サバールの法則）」を使って求めることができる。まず、磁荷の次元を求める。これは磁荷に対するクーロンの法則F₂=k₂・(m₁m₂)/r²より、[m]=[k₂^-1/2F^1/2L]である。
次に電磁単位の電気量の次元を求めよう。電磁単位での電気量をe_mとするとi=de_m/dtである。また「電流と磁荷の相互関係（ビオ・サバールの法則）dF=k₃・(m(idl))/r²」を変形すると、k₃・i(dl)/r²=dF/mである。ここにi=de_m/dtを代入すると、
k₃・(dl)/r²・(de_m/dt)=dF/mである。
(de_m)=(dF・r²・dt)/(m・k₃・dl)
次元を見ているから、dF=F,r=dl=L,dt=Tである。
したがって、[e_m][(FL²T)/((k₂^-1/2F^1/2L)・k₃・L)]=[(F^1/2T)/(k₂^-1/2・k₃)]となる。分数の形を避けると電磁単位の電気量の次元[e_m]は、次のようになる。
[e_m]=[k₂^1/2k₃^-1F^1/2T]

まとめよう。
静電単位[e_s]=[k₂^-1/2F^1/2L]
電磁単位[e_m]=[k₂^1/2k₃^-1F^1/2T]

静電単位と電磁単位の比を求めると、
[e_s/e_m]=[k₂^-1/2F^1/2L / k₂^1/2k₃^-1F^1/2T]=[k₁^-1/2k₂^-1/2k₃LT^-1]となる。
静電単位と電磁単位の比は、速さの次元（[LT^-1]）をもち、大きさがk₁^-1/2k₂^-1/2k₃であることがわかる。e_s/e_m=k₁^-1/2k₂^-1/2k₃である。