3元と4元

(ai+bj+ck)(xi+yi+zk)、見かけは3元i,j,kだが、実際は4元1,i,j,kである。
(ai+bj+ck)(xi+yi+zk)
=-(ax+by+cz)+(bz-cy)i+(cx-az)j+(ay-bx)k
i²=j²=k²=-1を使った。
左辺の虚軸3本に対して、生成した実軸1はどのようにつながっているのだろう。

(a+bi+cj)(x+yi+zj)、見かけは3元1,i,jだが、実際は4元1,i,j,kである。
(a+bi+cj)(x+yi+zj)
=(ax-by-cz)+(ay+bx)i+(az+cx)j+(bz-cy)k
ij=-ji=kを使った。
左辺の実軸1本と虚軸2本に対して、生成した虚軸kはどのようにつながっているのだろうか。