幻視のなかの橋2

2　第4元kの場所
複素数が基礎である。iとi²の表示は次のようだった。

ハミルトンは複素数の二つの元1とiに対して垂直な第3の元jに気づく。
jとj²の表示は次のようだった。ここが出発点だった。

3元数の積(a+bi+cj)(x+yi+zj)は2つの原則（体の原則と絶対値の原則）にあてはまらない。ij=-ji=kの関係を満たす第4の元kを導入することによって、2つの原則は貫徹されるのであった。3元数は非合理だが、4元数として開くと合理的な数になるように思えたのである。
i²=-1,j²=-1を基礎にk²の値を調べてみると、
k²=(ij)²=ijij=-i(ij)j=-iijj=-i²j²=-1
である。i²=j²=k²=-1となり、虚数単位として整合的なのである。
では第4の元kはどこにあるのだろうか。

これは3元の図で1にkを重ねた図である。実軸は虚軸に隠れている。
立ち入ってみよう。