幻視のなかの橋3

3　ijk=-1　

2つの原則を3元数の積に適用としたとき、非可換な関係と第4の元の関係式
ij=-ji=k
が出現する。
i²=-1,j²=-1を基礎にk²の値を調べてみると、
k²=(ij)²=ijij=-i(ij)j=-iijj=-i²j²=-1
であった。i²=j²=k²=-1となり、虚数単位として整合的で等価なものに思えた。自乗、いいかえれば内積は3つの虚元で等価である。
では、他乗、いいかえれば外積は3つの虚元に拡張できるだろうか。ハミルトンはできると仮定した。iとjに対して、ij=-ji=kを仮定したのと同じように、jとkに対してはjk=-kj=iを、またkとiに対してはki=-ik=jを仮定したのである。いいかえれば3つの虚元に外積のウロボロス構造を想定したのである。

右ねじの向きに第3の元が生成する（ij=k,jk=i,ki=j）。反対の向きには非可換な関係を認める（ij=-ji,jk=-kj,ki=-ik）。
ここから何が導かれるだろうか。
ア）ij=k
ここに左からkを掛ける。
ijk=k²=-1
イ）jk=i
右からiを掛ける。
ijk=i²=-1
ウ）ki=j
-ik=j
右からjを掛ける。
-ikj=j²
ijk=j²=-1
どの場合も3つ虚元の間には
ijk=-1
の関係が成立している。これがij=-ji=kによって開かれた関係の帰結である。
こんどは逆にijk=-1を前提にして、内積と外積が導かれるか確かめてみよう。
内積
ijk=-1
(ij)k=k²=-1
i(jk)=i²=-1
-jik=j(ki)=j²=-1
外積
ijk=-1
右からkを掛ける。
ijk²=-k
-ij=-k
ij=k　　ア）
ijk=-1
左からiを掛ける。
i²jk=-i
-jk=-i
jk=i 　　イ）
ijk=-1
-ikj=-1
左からjを掛ける。
-ikj²=-j
ik=-j
ki=j 　　ウ）
たしかにijk=-1から内積も外積も展開される。
i,j,kの関係式、i²=j²=k²=-1とijk=-1。ij=-ji=kの出現の前後で区切れば、i²=j²=-1とijk=k²=-1。ハミルトンは橋の近くまで来たのである。
i²=j²=k²=ijk=-1を見ておこう。