離心円に内在する楕円1

プトレマイオスのモデルは天動説なので周転円が不可欠である。しかし、天地を転倒して離心点に太陽を位置づけると、周転円は捨象できる。これが太陽中心系で見た離心円・等化点モデルである（山本義隆『世界の見方の転換』1）。これをプトレマイオスの離心円とする。ここに楕円が内在していることを見てみよう。
離心点F（太陽S）から惑星Pまでの距離を FP =rとする。また、中心Cから見た惑星Pと遠日点Aの角度∠PCA（離心アノマリア）をβとする。そして、半径をa、離心率をeとする。

△PFCで余弦定理より、
FP ²=r²
=a²+(ea) ²－2a・(ea)cos(π－β)
=a²+(ea) ²+2ea²cosβ
したがって、
FP =r
=√(a²+(ea) ²+2ea²cosβ)
=a(1+e²+2ecosβ) ^1/2
離心率eは十分小さいので、べき展開して2次までとると（注）、次のようになる。
FP =r=a(1+ecosβ+e²/2・sin²β)
1次までの近似a(1+ecosβ)に楕円の式が表れている。2次の項だけ長いことがわかる。
β=0は遠日点でr=a(1+e)、βが大きくなるにつれ、離心円は楕円の軌道とは離れていく。そしてβ=90°で離心円と楕円の軌道の間隔は最大になる。そのときr=a(1+e²/2)である。さらにβが大きくなると間隔は小さくなり、β=180°のとき、近日点でr=a(1-e)となる。
離心円と楕円の軌道の間隔は最大になるβ=90°のときが、ケプラーが「眠りから目覚めた」ときである。ここに着目してみよう。

注
2次までの近似式について。
f(e)=(1+e²+2ecosβ) ^1/2とする。
（　）内はeの2次式である。
f(e)=(e²+2cosβe+1) ^1/2
f'(e)
=1/2・(e²+2cosβe+1) ^-1/2・(2e+2cosβ)
=(e+cosβ)/√(e²+2cosβe+1)

f"(e)は商の微分。
f"(e)の分子、
1・√(e²+2cosβe+1) - (e+cosβ)・(e+cosβ)/ √(e²+2cosβe+1)
=(e²+2cosβe+1- (e+cosβ) ²)/√(e²+2cosβe+1)
=1-cos²β/√(e²+2cosβe+1)
=sin²β/√(e²+2cosβe+1)
f"(e)の分母、
e²+2cosβe+1
あわせると、
f"(e)
=sin²β/(e²+2cosβe+1) ^3/2

したがって、e=0を代入すると、
f(0)=1
f'(0)=cosβ
f"(0)= sin²β
ゆえに、
f(e)= f(0)+f'(0)e+f"(0)e²/2!
=1+ecosβ+e²/2・sin²β
距離 FP は次のようになる。
FP =r=a(1+ecosβ+e²/2・sin²β)