8分の数学的背景2

8分の違いは、離心円の離心率eとすると、e²/4に基づいている。ここに、火星の離心率e=0.09265を代入すると出てくる。
e²/4=0.00214
この値は弧度法で表した角度で、これを度数法の角度で表すと、
0.00214×180÷3.14=0.123°
これを分に直すと、
0.123×60=7.3′　
≒8′（8分）
e²/4は、離心円上にある火星と、楕円上にある火星の真アノマリアの角度の差の最大値である。e²/4を導いてみよう。

まず、プトレマイオスの離心円上にある火星と、ケプラーの楕円上にある火星の、真アノマリアαを離心アノマリアβの関係をみてみよう。
プトレマイオス(p)の場合

この図でPからABに垂線を下ろしその足をLとする（図に表示はない）。半径を1とする。PLをα、βで表すと、
r_psinα_p=sinβ
ここでr_p= (1+e²+2ecosβ) ^1/2　である。（注1）
ケプラー(k)の場合

ここでもPLをα、βで表すことを考える。
r_ksinα_k=√(1-e²)sinβ
ここでr_k=1+ecosβ　である。（注2）

次に、離心円上の火星の真アノマリアα_pと楕円上の火星の真アノマリアα_kの近似式を求め、その差をとってみよう。

注1　「離心円に内在する楕円1」をみてください。
注2
r_kcosα_k= FL = FC +CL =e+cosβ
r_ksinα_k=PL = PL /KL ・sinβ=√((1-e²)sinβ
したがって、
r_k = FP =√( FL ²+PL ²)=1+ecosβ
である。
（山本義隆『世界の見方の転換』参照）