8分の数学的背景3

周転円上の真アノマリアαと離心アノマリアβの関係は次のようだった。
r_psinα_p=sinβ
ここでr_p= (1+e²+2ecosβ) ^1/2　である。

楕円上の真アノマリアαを離心アノマリアβの関係は次のようだった。
r_ksinα_k=√(1-e²)sinβ
ここでr_k=1+ecosβ　である。

離心円上の火星の真アノマリアα_pと楕円上の火星の真アノマリアα_kの、離心率eの２次までの近似式を求めると次のようになる（注）。
α_p=β-esinβ+e²/2・sin2β
α_k=β-esinβ+e²/4・sin2β

1次まではまったく同じである。2次で違いが出てくる。
α_pとα_kの差は
α_p－α_k
=e²/4・sin2βである。
この式が8分の誤差の数学的背景である。sin2β=±1、いいかえればβ=45°、135°（2β=90°、270°）で最大の誤差e²/4 （約8分）が生じる。くわしくいえば、β=45°で8分の過剰、β=135°で8分の不足が生じた。


（注）
2次までの近似式について。
真アノマリアと離心アノマリアの関係より、
sinα_p=sinβ/r_p
r_pに2次までの近似式を入れて、
sinα_p=sinβ/ (1+ecosβ+e²/2・sin²β)
これより、
f_p(e)=α_p=arcsin{ sinβ/ (1+ecosβ+e²/2・sin²β)}
同じように、
f_k(e)=α_k=arcsin{√(1-e²)sinβ/ (1+ecosβ)}

ここを起点にして
f'を求める。これはそれぞれ逆三角関数の微分となる。
f"は項数の多い商の微分となる。
最後にe=0を代入するので、高次の項を書かないのが計算の要領だろうか。楕円の方が離心円の方より計算しやすいと思う。過程や結果をここに示せればと思うが、その根気がない。

f_p(0)=f_k(0)=β
f'_p(0)=f'_k(0)=－sinβ
f"_p(0)= sin²β
f"_k(0)=1/2・ sin²β
となり、eの2次までの近似式が求まる。

（他のやり方があるのだろうか。）