数三角形の細胞C

数学で_nC_rといえば、n個の異なるものからr個とる組合せの数である。Cはcombination（組合せ）のイニシャルである。また、_nC_rはn次の二項展開式におけるr次の項の係数である。この場合のCはcoefficient（係数）だろう。
この2つのCはパスカルの数三角形と密接に関係している。ここで、パスカルの数三角形における細胞の位置と数を示す表記として、もうひとつ_nC_rを考えてみよう。この場合のCは細胞（cell）のCである。

0C0	1C1	2C2	3C3	4C4	5C5	6C6	7C7	8C8	9C9
1C0	2C1	3C2	4C3	5C4	6C5	7C6	8C7	9C8
2C0	3C1	4C2	5C3	6C4	7C5	8C6	9C7
3C0	4C1	5C2	6C3	7C4	8C5	9C6
4C0	5C1	6C2	7C3	8C4	9C5
5C0	6C1	7C2	8C3	9C4
6C0	7C1	8C2	9C3
7C0	8C1	9C2
8C0	9C1
19C01	111	111	111	111	111	111	111	111	111

数三角形の数は、次の規則で規定されたものである。
「各細胞の数はその垂直行における直前の細胞の数とその水平行における直前の細胞の数との和に等しい。」

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84
1	5	15	35	70	126
1	6	21	36	126
1	7	28	84
1	8	36
1	9
111	111	111	111	111	111	111	111	111	111

例えば、色付きの部分。
これは₅C₂＝₄C₁＋₄C₂
である。
一般に、次のような規則で並べてある。
_nC_r＝_n－1C_r＋_n－1C_r－1
これは組合せの公式として馴染みがあるものだが、ここで配列の規則である。

このような数三角形の数の配置からさまざまな規則をパスカルは読み取っていく。なかでも核心は三角形の底辺（斜め）で隣り合う2細胞の数の比例関係である。
「あらゆる数三角形において、同じ底辺にあって隣接する2つの細胞のうち、上位の細胞と下位の細胞との比は、上位の細胞から底辺の最上段までの細胞の個数(両端の細胞を含む)と、下位の細胞から最下段までの細胞の個数(両端の細胞を含む)との比に等しい。」
例えば、赤字の部分。
6（上位の細胞 ₄C₂の数）と4（下位の細胞₄C₁の数）の比は、3（上位の細胞から底辺の最上段までの細胞₄C₂・₄C₃・₄C₄の個数）と2（下位の細胞から最下段までの細胞₄C₁・₄C₀の個数）に等しい。

（つづく）