パスカルの三角形と母関数

母関数とは、数列の項
a₀, a₁, a₂,…, a_n
を係数とする整関数
a₀＋a₁x＋ a₂x²＋…＋ a_n xⁿ
のことである。

例えば、1,3,3,1の母関数は(1＋x) ³である。

一般に、パスカルの三角形において水平方向に並ぶ数列
_nC₀ , _nC₁ , _nC₂ , … , _nC_n
の母関数は
(1＋x) ⁿで与えられる。これは二項展開そのものである。

パスカルの三角形を直角三角形の形に並べてみる（左側に傾け、左側を縦にそろえる）と、次のようになる。

ここで水平方は母関数(1＋x) ⁿで統一的に見ることができる。
垂直方向には、
単位数（1,1,1,…）、自然数（1,2,3,…）、三角数（1,3,6…）、四面体数（1,4,10,…）が並ぶが、これらの数列は
母関数(1－x) ^－nで統一的に見ることができるという。これを確かめてみよう。