パスカルの三角形と母関数5

フィボナッチ数列の母関数をFとすれば、
F＝f₁＋x²f₂＋x⁴f₃＋x⁶f₄＋……
となる。
f_n＝(1－x) ^－nだから、Fは次のようになる。
F＝f₁＋x²f₂＋x⁴f₃＋x⁶f₄＋……
＝(1－x) ^－1＋x²(1－x) ^－2＋x⁴(1－x) ^－3 ＋x⁶(1－x) ^－4＋……
これは初項(1－x) ^－1、公比x²(1－x) ^－1の無限等比級数である。（母関数表わす冪（ベキ）級数は形式的な級数なので収束条件は考えなくてもいいのだという）。
F＝(1－x) ^－1 / (1－x²(1－x) ^－1)
＝1/((1－x)－x²)
＝1/(1－x－x²)
これがフィボナッチ数列の母関数である。

F＝1/(1－x－x²)
＝1＋x＋2x²＋3x³＋5x⁴＋8x⁵＋13x⁶＋……
＝₀C₀＋₁C₀x＋(₂C₀＋₁C₁)x²＋(₃C₀＋₂C₁)x³＋(₄C₀＋₃C₁＋₂C₂)x⁴＋(₅C₀＋₄C₁＋₃C₂)x⁵＋……＋(_nC₀＋_n－1C₁＋_n－2C₂＋……＋_n－[n/2]C_[n/2])xⁿ＋……
まとめると、次のようになる。
F＝1/(1－x－x²)＝_n＝0Σ^∞C_nxⁿ
ここでC_nは
C_n＝_k＝0Σ^[n/2]_n－kC_k
である。

（注）
1/(1－x－x²)を内的に展開して_n＝0Σ^∞C_nxⁿを導く方法もあるようだが、複雑でよくわからない。ここでは、以前の記事（フィボナッチ数列の確認、フィボナッチ数列の一般項）の結果を外的に結びつけたものである。