指数と対数の起源O

　オイラーは　a⁰ = 1から始めている。0は加法の単位元、1は乗法の単位元である。a＞1のとき、両辺に微小な変化を想定する。
（引用はじめ）『オイラーの無限解析』より
　まずa⁰ = 1。しかももしaが１より大きな数であれば、aの冪指数が増大するにつれて、それに伴って〔aの〕冪の値もまた増大していく。これより明らかになるように、もし冪指数が無限小だけ０を越えたなら、冪もまた無限小だけ1を凌駕する。そこでωは無限に小さい数、すなわち、どれほどでも小さくてしかも０とは異なる分数としよう。
（引用おわり）
　そして、ψを無限に小さい数として、
　　　　　a^ω = 1＋ψ
と設定している。ここから無限小のψと無限小のωの関係を想定し、底aに依存する数kを導入してψ＝kωとおき、
　　　　　a^ω = 1＋kω　　　　(1)
としている。aを対数の底とすれば、
　　　　　ω＝log(1＋kω)
である。
　これが指数と対数の起源になる。

　『dxとdyの解析学』（高瀬正仁著、日本評論社、2015）の「指数と対数」54-55頁を読んでいたら、
（引用はじめ）
「ふたつの無限小量は有限比をもつことがある（もたないこともある）」という認識こそ、無限小解析の根幹をなす偉大な発見だったのである」
（引用おわり）
とあり、認識を新たにした。しかも、ここでの有限比、(1)式の比例定数kは、
　　k＝lim_ω→0(a^ω－1)/ω＝log a　 (2)
の関係にあると指摘されていた。
　これは「冪を用いて表示される対数6」で導いた
　　nx^1/n－n＝log x 　　　　(3)
と同じ関係にあると気づいた。

　(2)式は高瀬正仁がオイラーの(1)式に付けている注にある式だが、この計算は高木貞治『解析概論』定本49頁にあるといっている。ここは先日(3)を導出するとき参考にした箇所と一致しているだろう。軽装版では45頁である。
　(1)式
　　a^ω = 1＋kω
に対する見方が深まったと思う。