指数と対数の冪表示と級数表示2

B　対数の冪表示と級数表示

指数の出発点
　　
において、eを対数の底にとり、順序を入れ替えると、
　　
となる。これを対数表示の出発点とする。

1　累積
　　
2　変数部分をx（有限値）で表示する（注1）
　　
3　nが無限大数、ωが無限小数であることを確認して、ωをxとnで表示する
　　
　　　
4　2,3を1へ代入する
　　
　これが指数の冪を用いた表示である。
5　4を二項展開する（nが無限大数であることを考慮して）（注2）
　　

注1
　右辺を1＋xではなくxと置くこともでき、冪表示も級数表示も可能である。実際、「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」ではxと置き、冪表示を導いている。しかし、『オイラーの無限解析』7章では、1＋xと置いている。これはメルカトルの公式をそのまま導くためだったろう。

注2
　次回。