2次の巡回群とは思わなかった

『美しい数学入門』（伊藤由佳理著、岩波新書、2020）の中で群論入門として家紋の合同変換が取り上げられていた。基礎として、三つ巴の家紋は3次の巡回群、また桔梗の家紋は5次の二面体群と解説した後、演習問題として、菊、花菱、桐、違い枡に桔梗、の4つの家紋の合同変換の群を求めよという問題が提示してあった。

菊（16次の二面体群）、花菱（2次の二面体群）、違い枡に桔梗（単位元のみからなる単位群）は正解だったが、桐（2次の巡回群）は違っていた。巡回群は平面内の回転だから、桐には当てはまらない。桐は線対称（軸1本）の図形、裏返して（空間内での移動）合同となるから2面体群である。桐の家紋は1次の二面体群と思っていた。

本の後ろの方で、2次の巡回群は元は２つしかなく単位元eともう一つの元aという記述があった。a²＝e（a^2＝e）、1（そのまま）と－1（反転）、(－１)²＝1（(－１)^2＝1）で、元が2つしかないのは、2次の巡回群という位置づけはわかった。しかし、最初に戻ると、三つ巴は平面上で120度、240度回転すると回転前と同じ図形である。しかし、桐は180度回転する上下反転した図形である。回転前とは重ならない。ここに巡回群を外した理由があった。