対数の底を指数の底とみる

ネイピアは対数を作ったが、ビュルギもネイピアとは独立に対数を作っている。いずれも、1に極めて近い連続的な比が進行していく過程に着目した。

ネイピアは1より小さい比を考えた。
　　初項10⁷、公比(1－1/10⁷)
ビュルギは1より大きい比を考えた。
　　初項10⁸、公比(1＋1/10⁴)

ネイピアの一般項は、
　　x＝10⁷(1－1/10⁷)^y
で、これを変形すると次のようになる。
　　x/10⁷＝((1－1/10⁷)¹⁰⁷)^y/107
赤字の部分は(1－1/n)ⁿのかたちである。

ビュルギの一般項は、
　　x＝10⁸(1＋1/10⁴)^y
で、これを変形すると次のようになる。
　　x/10⁸＝((1＋1/10⁴)¹⁰⁴)^y/104
赤字の部分は(1＋1/n)ⁿのかたちである。

n→∞のとき、
　　(1＋1/n)ⁿ→e（ネイピア数、2.718281828…）である。
これに対して、
　　(1－1/n)ⁿ＝(1＋(－1)/n)ⁿである。
したがって、
　　n→∞のとき、(1－1/n)ⁿ→e^－1＝1/e である。
ネイピアの対数の底は1/e、ビュルギの対数の底はeだった。こここまでは2年ほど前の記事（「ネイピアとビュルギの対数の底」）抜粋である。ここから、対数から指数の方向を展望してみよう。

－と1/e（ネイピア）、＋とe（ビュルギ）のうち、整合性を考えて、＋とe（ビュルギ）の方で対数から指数関数を展望する。
　　m/10⁸＝((1＋1/10⁴)¹⁰⁴)^n/104
において、公比の部分が対数の底になる。対数はべき指数を取り出すから（赤字が底となる）、
　　(n/10⁴)＝log_{(1＋1/10⁴)¹⁰⁴}(m/10⁸)
である。z＝log_a yならa^z＝yである。
指数関数の形は、
　　((1＋1/10⁴)¹⁰⁴)^z＝y
となり、冪から展開できることになる。ここで10⁴は無限大数iとなるものである。オイラーは
無造作に、a^ω＝1＋kωを累乗して、
　　a^iω＝(1＋kω)ⁱ
を導いた。この代数操作の背景には対数の底の形があったといえるだろう。そして、z＝iωと置くとはっきりする。
　　
である。対数の底を指数の底としてみることによって、冪から出発して指数関数をつくり、eを指摘することになった（k＝1、z＝1のときa＝e）のである。