eの導入とオイラーの公式の成立

『オイラーの無限解析』第8章の注に、オイラーの公式の前身が示されている（ゴールドバッハ宛書簡）。ここにはeは登場していない。
　　　1741年
　　　1742年
これは虚の指数と三角関数（余弦と正弦）の関係ではなく、虚の指数と余弦に限定されている。オイラーの関心は、虚の指数と三角関数（余弦）との関係というよりも、虚の指数にもかかわらず実の値（余弦）になることにあったと思われる。

正弦と虚の指数関数との関係を把握するには、さらに log a から log e へ変わる必要があった。指数の底が a から e（ネイピア数、自然対数の底）に変わることによって、対数（log）の表示が消えるのである。この指数の底の転換がオイラーの公式（1743年と思われる）の跳躍点だった。
　　
指数の底 e に着目するきっかけになったのは、自由調和振動の微分方程式の成立条件だと述べた（「オイラーの公式—起承転結」付録 1 オイラーの公式、「起」から「承」へ、「数学・物理通信」10-7参照）。それだけでなく、ここには冪から作った指数関数からeが導入されたことが前提となっている。指数の底aと比例定数kが、k＝log aの関係を持ち、k＝1のときがa＝eだったのである。