4元数の積1

4元数 (a+bi+cj+dk)と(x+yi+zj+wk)の積を考える。
まず、ij=-ji=k,k²=-1を基礎に虚数単位i,j,kの関係を確認しておこう。
jk=jij=-ij²=i
kj=ijj=ij²=-i
ki=iji=-i²j=j
ik=iij=i²j=-j
ij=k,jk=i,ki=jである。虚数単位の積は、循環していて整合的である。
4元数の積が計算しやすいように、積を次のように分けておこう。
内積
i²=j²=k²=-1
外積〈非可換〉
ij=-ji=k
jk=-kj=i
ki=-ik=j
この2つの積の他に、1と1,i,j,kの積がある。
境積（内と外の境界の積）〈可換〉
1･1=1･1=1
1･i=i･1=i
1･j=j･1=j
1･k=k･1=k
これらに基づいて４元数の積を計算する。
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
実数部分（1の係数）は1･1=1と内積i²=j²=k²=-1
からすぐに
(ax-by-cz-dw)
とわかる。
虚数部分iの係数は境積1･i=i･1=iと外積jk=-kj=iを用いる。kjのときだけ負の項になり、３つの正の項と１つの負の項で構成される。
(ay+bx+cw-dz)i
同じように虚数部分j,kの係数は次のようになる。
(az+cx+dy -bw)j
(aw+dx+bz-cy)k
したがって、４元数の積は次のようになる。
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
=(ax-by-cz-dw)
+(ay+bx+cw-dz)i
+(az+cx+dy -bw)j
+(aw+dx+bz-cy)k
４元数の積は４元数になっている。閉じている。４元数の積は体の原則を満たしている。
次に、絶対値の原則について調べてみよう。