4元数の積2

４元数の積は次のようだった。
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
=(ax-by-cz-dw)
+(ay+bx+cw-dz)i
+(az+cx+dy -bw)j
+(aw+dx+bz-cy)k
４元数が絶対値の原則を満たしているかどうかみておこう。
|pq|²=|p|²|q|²の確認である。
いま、次のようにおく。
A=ax-by-cz-dw
B=ay+bx+cw-dz
C=az+cx+dy -bw
D=aw+dx+bz-cy
すると、４元数の積は
(a+bi+cj+dk)(x+yi+zj+wk)
=A+Bi+Cj+Dkと表示できる。すると確認したいのは次の等式である。
A²+B²+C²+D²=(a²+b²+c²+d²)(x²+y²+z²+w²)
左辺の計算が力仕事である。
(ax-by-cz-dw)²+(ay+bx+cw-dz)²+…
工夫が必要になる。準備をしておこう。
(a+b)²=a²+b²+2ab
(a+b+c)²=a²+b²+c²+2ab+2ac+2bc
この２つは高校の公式である。
４つの項の平方は次のように考えると見通しがよくなる。
(a+b+c+d)²
=((a+b)+(c+d))²
=((a+b)²+(c+d)²+2(a+b)(c+d))
=a²+b²+c²+d²+2ab+2ac+2ad+2bc+2bd+2cd
４つの項の平方では、文字(a,b,c,d)の2乗（この場合は自乗という表現が適している）の項が4つきて、その後に交差項（ab,ac,…bd,cd)（この場合は他乗がいいかもしれない）が６つ並ぶ。10項の多項式になる。
これを踏まえて、A² を計算してみよう。
A² =a²x²+b²y²+c²z²+d²w²
-2abxy - 2acxz - 2adxw + 2bcyz + 2bdyw + 2cdzwとなる。
B²,C²,D²を計算する前に、Aと同じようにx,y,z,wの順に項を並べ替える。
A=ax-by-cz-dw
B=bx+ay-dz+cw
C=cx+dy+az-bw
D=dx-cy+bz+aw
これで計算すると、次のようになる。
A² =a²x²+b²y²+c²z²+d²w²+P
B² =b²x²+a²y²+d²z²+c²w²+Q
C² =c²x²+d²y²+a²z²+b²w²+R
D² =d²x²+c²y²+b²z²+a²w²+S

P =-2abxy - 2acxz - 2adxw + 2bcyz + 2bdyw + 2cdzw
Q =+2abxy - 2bdxz + 2bcxw - 2adyz + 2acyw - 2cdzw
R =+2cdxy + 2acxz - 2bcxw + 2adyz - 2bdyw - 2abzw
S =-2cdxy + 2bdxz + 2adxw - 2bcyz - 2acyw + 2abzw

他乗の項の係数を縦にみると6つの項すべてで係数は0になる。
P+Q+R+S=0である。
自乗の項の係数を縦にみると4つの項(x²,y²,z²,w²)の係数はすべて(a²+b²+c²+d²)である。
したがって
A²+B²+C²+D²
=(a²+b²+c²+d²)(x²+y²+z²+w²)
である。
4元数は絶対値の原則を満たしている。

注　矢野忠『四元数の発見』（海鳴社 2014年）参照　展開の表示の初出は「数学・物理通信」1巻11号である。このときは10項を1行で表示している。これは横幅の広い画面を前提にしたものだったろう。スマホの画面では無理だし、また本でも横幅が足りなかったものとみえる。そのため区切りを入れて2行に分けた。こちらの方がわかりやすいと思う。