幻視のなかの橋5

5　公式の整理
　（注、これは「２つの公式の違い」と「発見の意識と無意識」を編集したものである。）

ハミルトンは1843年10月16日、２種類の公式を書いている。
朝、手帳と橋の欄干に書いたもの。
i²=j²=k²=ijk=-1
夜、ノートに書いたもの。
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
この２つの式は４元数の公式として同じものである。しかし、朝の1行の式は「ことの重大性が一瞬に感じとれたこと」、「電気の回路は閉じ、閃光がひらめいた」と形容されているものである。この2つの公式の違いは何なのだろうか。比喩的にいえば、朝の式は迷いのなかでみた光であり、夜の式は悟りのなかで輝く光といえばよいのではないだろうか。
ノートには研究の経緯が述べられている。そのなかで注目すべきは、3元数の積について、特殊な場合と一般的な場合では違いがあったことである。
特殊な場合、
(x+iy+jz) ²
(a+iy+jz)(x+iy+jz)
では、これらはij=0やij=-ji（iとjだけで閉じている）の仮定だけでも3元数は成立していた。
これに対して、一般的な３元数の積
(a+ib+jc)(x+iy+jz)
を考えた場合は、3元では収まらず、「積ijが新しい虚数、ji=-kとしたときのkになるのではないか」という考えがあったことである。4元数が見え隠れしていたのである。
朝の式の核になっているのはijk=-1である。この式がどのように現れたのかは「謎」（ハミルトンにとっても）である。しかし、この式の中でij=0が成立しないことは明確である。ハミルトンにとってij=0（やij=-ji）は空間のベクトルを3元（1,i,j）で完結させたいという願望だったのだろう。
ijk=-1の出現によって、この道が消えたのである。いいかえれば3元数の積は3元では表現できず、第4の元を導入せざるを得ないことが明確になったのである。ijk=-1はij=0を排除して4元数と直面させた。「迷いのなかでみた光」というゆえんである。
しかし、迷いはすぐになくなったわけではない。ノートを読むと、ijk=-1を自覚した後でも、ij=0の可能性に対する未練は残っていたことがわかる。ハミルトンは次のように述べている。
（引用はじめ）
未だに（そしてたぶん前にも）ij=0になることは可能ではないか、と考えていた:そして（朝の思考過程を夜になって思い出そうと試みて）私は信ずるに、この等式ij=0が真であることが分かるのが、奇妙かもしれないが、もっともらしいとさえ考えた
（引用おわり）
感動的な告白ではないか。3元だけで完結させたいという気持ちはそれほど強かったのである。
また、ハミルトンは、k²=1の可能性にもふれている。「一時、k²=1もありそうだと思った」と述べている。
着目してほしいのは、ij=0とk²=1はi,jと等価な第4の元kの存在の否定と対応していて、公式と両立しないことである。しかも、このij=0とk²=1は、
i²=j²=k²=ijk=-1
が喚起された後でも保持され意識されていることである。
これは朝の4元数の発見が無意識のうちに起ったことを意味しているだろう。わたしたちが夜のノートにみるのは、ハミルトンが意識していた願望を修正し、無意識のうちに発見された4元数を追いかけていく過程なのではないだろうか。
（引用はじめ）
こうして、i²=-1とj²=-1だけでなくk²=-1そしてij=k,ji=-kをも仮定するようになった。それからもっともなこととして、ik=-jを仮定するのが適当と考えた。じっさい、ik=iijであり、i²=-1である。そうであるならば、ji=-ijであるからki=-ik=jのように思える。この関係はk=－jiからも導ける。同様にして可能と見えるのは（もしくは、少なくとも自然に仮定されるのは）kj=ijj=-i、jk=-jji=iである。
乗法の仮定もしくは定義は集計して、
i²=j²=k²=-1
ij=k,jk=i,ki=j
ji=-k,kj=-i,ik=-j
（引用おわり）（『ハミルトンと四元数』（堀源一郎著、海鳴社、2007）2章　参照）