三角形の対称軸にならぶ数列2

三角形の対称軸にならぶ数列には次の関係が成り立っている。
_nC₀²＋_nC₁²＋_nC₂²＋……＋_nC_n²＝_2nC_n
これは
(1＋x) ⁿ(1＋x) ⁿ＝(1＋x) ²ⁿ
のxⁿの係数を比較することによつて導くことができる。
左辺(1＋x) ⁿ(1＋x) ⁿ
＝(_nC₀＋_nC₁ x＋_nC₂x²＋……＋_nC_nxⁿ)(_nC₀＋_nC₁ x＋_nC₂x²＋……＋_nC_nxⁿ)

xⁿの係数は、
_nC₀･_nC_n＋_nC₁･_nC_n－1＋……＋_nC_r･_nC_n－r＋……＋_nC_n･_nC₀
となる。
ここで
_nC_r＝_nC_n－r
だから、xⁿの係数は、
_nC₀²＋_nC₁²＋_nC₂²＋……＋＋_nC_n²
となる。
右辺の_2nC_nのxⁿの係数は公式そのまま
_2nC_n
である。
したがって、
_nC₀²＋_nC₁²＋_nC₂²＋……＋_nC_n²＝_2nC_n
縮めると、
_k＝0Σⁿ(_nC_k)²＝_2nC_n
となる。

エクセルには平方和の関数SUMSQ、組み合わせの関数COMBINがある。これを利用すると最初の数列は次のようになる。

1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	2	3	4	5	6	7	8	9
1	3	6	10	15	21	28	36
1	4	10	20	35	56	84
1	5	15	35	70	126
1	6	21	56	126	252
1	7	28	84			924
1	8	36					3432
1	9							12870
111	111	111	111	111	111	111	111	111	48620

1²＋9²＋36²＋84²＋126²＋126²＋84²＋36²＋9²＋1²＝48620