対数の級数表示の導出

5月頃、10回ほど続けた「指数と対数の起源」の続きである。

「指数と対数の起源」1,2,3でオイラーにしたがって（『オイラーの無限解析』7章「指数量と対数の級数表示」の指数の部分）、指数の級数表示を見た。こんどは対数に移る。
前は、
a ^ω＝ 1＋kω
から始めた。これと対応させれば、
ω＝ log(1＋kω)
から始めるべきだが、ここでは対数一般ではなく、自然対数に限定して、級数表示と冪による表現を見ることにする。
すなわち、k＝1を前提とする。したがって、底はaではなくe（ネイピア数）である。
e ^ω＝ 1＋ω
に対応する、
ω＝ log(1＋ω)
から始める。

冪を用いて表示される対数6

y＝nx^1/n－n＝( x^1/n－1)/(1/n)
ここで、1/n＞0、 x^1/n＞1である。
したがって、
　　x^1/n＝1＋1/m　　　　(1)
とおくと、n →∞ のとき、x^1/n→1である。したがって、m → ∞ である。
(1) 式の対数をとると（底 x）、
　　1/n＝log_x(1＋1/m)
である。
だから、次のようになる。
　　
n →∞ のとき、m → ∞ である。したがって、(1＋1/m)^m→eである。
ゆえに、
log_x(1＋1/m)^m→log_xe
となる。
まとめると次のようになる。
　　
したがって、nを十分大きくとれば、nx^1/n－nはいくらでもlog xに近づいていく。

はじめて毛虫に刺される

　土曜日の午前中、2時間ほど木の剪定をした。すべて楠である。鳥の糞にあった種が成長したもので、幹が太くなったのが4本ほどある。切るのは幹から伸びた幼い枝だが、これがけっこうな高さまで伸びるのである。切った枝を束ねると4束になった。枝を切っているとき、ちくりとした。枝の先端にあたったのかと思い左の前腕を見たが、ひっかき傷のような痕はなかった。毛虫かなと思ったが、そのまま作業を続けた。束ねているとき、葉に黄色いイラガの幼虫がいた。このトゲ（毒棘）に触れたのだと思った。その後、特に気にすることはなかった。
　日曜日の朝、前腕の真ん中付近が腫れていた。腫れの中央に赤い点がある。盛り上がっていて、触ると硬くかゆみを感じた。ムヒを塗った。今日になって、すこし治まったが、まだ腫れたままである。
　これまでルリチュウレンジやチャドクガなど毛虫を処理してきたが、何ごともなかった。事前に知っていて、注意していたからだろう。こんどはじめて毛虫に刺された。葉にいるとは思っていなかったのである。

冪を用いて表示される対数5

志賀浩二の注釈を見ておこう。
指数関数a^tを微分すると次のようになる。
(a^t)^’
＝lim_h→0( a^t＋h－a^t)/h
＝lim_h→0( a^t ( a^h－1))/h
＝a^t･lim_h→0 ( a^h－1)/h　　　(1)
h＝1/nとすると、h→0のとき、n→∞である。
したがって、(1)式は次のようになる。
＝a^t･lim _n→∞ ( a^1/n－1)/(1/n)
ここでt＝0とおくと、赤い式だけになり、これとオイラーの式nx^1/n－nを志賀は対応させているのである。
　　lim_n→∞( a^1/n－1) / (1/n)＝log a
　　lim_n→∞( nx^1/n－n)＝log x
赤い式がlog aになること、青い式がlog xになることには説明が必要である。

y＝nx^1/n－n　を
y＝( x^1/n－1)/(1/n)に変えて、これがlog xになることを見ておこう。

冪を用いて表示される対数4

　オイラーの対数の導出をたどっていくと、
　　log(1＋x)=n(1＋x)^1/n－n 　
や
　　log x=nx^1/n－n　　　　
になることは納得できる。
　しかし、右辺だけで、これが　log(1＋x)やlog xになることはピンとこない。
　これはわたしだけではないようだ。
　志賀浩二は『数の大航海』のなかで、
　　y=nx^1/n－n　　
の式について、次のような注釈を付けている。
（引用はじめ）
「この式は見なれないかもしれないので、現在流に書いてみると、(a^t)^’＝a^tlog a。したがってt＝0で考えると、
lim_n→∞( a^1/n－1) / (1/n)＝log a
ここでaをxにおきかえると
　lim_n→∞( nx^1/n－n)＝log x
となる。
（引用おわり）

つづく

田んぼの草より庭の草

　庭の雑草が増えてきている。駐車場への通路など雨が降れば靴が濡れてしまう。田んぼよりこちらを優先させなければならない。
　草刈り機での作業は楽しいと思う。根こそぎというわけにはいかないが、しばらくの間はきれいに見える。運動を兼ねて、何回でもやればよいと思っている。タンクに混合オイルを予定分だけ入れ、ガス欠になったところで作業を終えている。入れすぎてなかなか終われないときもある。

脚の筋肉の衰え

　これで丸っと10日、田んぼの草刈りに行っていない。最近は台風の影響で、はじめから無理だったが、1週間ほどは、行くつもりだったが行けなかった。夜中に雨が降って、朝はあがっているのだが、濡れ草の処理が億劫になったのである。その代わりに、ラジオ体操を元気よくやっていた。
　１０日前、3回目の東側斜面の草刈りが、5分の1ほど残っていた。これを処理したかったのである。また、草は増えているだろう。
　草刈りとラジオ体操では筋肉の使い方が違う。脚の筋肉が衰えているような気がする。布団から立ち上がりにくいのである。

土砂降りのなかを歩いた

　台風の影響である。夜中は土砂降りだった。ところが、朝6時半頃は台風一過のように青空がみえて、ラジオ体操は庭で出来た。出勤時間はこちらでは晴れていた。子供は喜んで出かけた。しかし、9時過ぎから、土砂降り、強風、曇り空のくり返しになった。
　こんな時に歯医者が予約だった。近いので徒歩で行った。行きは土砂降り、帰りは曇り空だった。

冪を用いて表示される対数3

オイラーは『オイラーの無限解析』7章§125で用いた自然対数（双曲線対数）を、冪を用いて次のように表示した。
　　log(1＋x)=n(1＋x)^1/n－n 　　(1)
ここでnは無限大数である（オイラーはiを使っている）。
8章の§139で円弧と虚対数の関係を導くとき、この式の(1＋x)の代わりにyを用いて、
　　log y=ny^1/n－n　　　　　　(2)
としてから、次に進んでいる。真数が1文字の方が見やすいからだろう。この置き換えは(1)が冪を用いた表示だけでなく、級数表示も導く必要があったためだが、§139には一呼吸遅れる結果になっている。

(2)の形は「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」の
　　log x=nx^1/n－n　　　　　　(3)
と同じ式である。あらかじめこちらを自然対数の冪を用いた表示としておけば、§139にスムーズに入れる。

冪を用いて表示される対数2

「負数と虚数の対数に関するライプニッツとベルヌーイの論争」での「冪を用いた対数」の導出は簡潔だが、このままだと、対数の級数表示ができない。
　　(1＋ω) ⁿをxと置く替わりに1＋x
と置けば可能だが、こんどは、別の問題が出てくる。