エノキの葉の紅葉はじまる

庭に野生えのエノキ（榎）が数か所ある。どれも幼木である。青い葉のものがほとんどだが、紅葉しはじめたのもある。

雑草の名前はヒメクグだった

庭に広がっている雑草の一つで、だんだん丈が伸びてきている。名前を知らない。刈る前に、調べてみようと思った。

グーグルレンズによれば、ヒメクグ（姫莎草）。姫は小さい、莎草はカヤツリグサの意。丸い花、3本ほどの細い葉（苞）、三角柱の茎。近寄れば独特のかたちで興味がわくが、遠くからはただの雑草である。

キンモクセイのつぼみに気づいた

遠くからはまったくわからなかった。近づいてみて初めてキンモクセイ（金木犀）のつぼみに気づいた。それもほとんどの枝の付いている。1週間前にはなかった（と思う）。

鼻を近づけるとかすかに匂う。開花が楽しみである。

アルティンが読めるかもしれない

金重明の『方程式のガロア群』の4章に「交換子」を使って、5次以上の対称群は可解群ではないことの説明がある（6ページ程）。以前は謎が多かったが、いまはわかるようになってきた。こんど気づいたことは、その説明のなかに、アルティン『ガロア理論入門』からの引用があり、この説明の引用（1/3ページ程、「あっさりしたもの」）もわかるような気になったことである。

確かめてみると、引用されていたのは、補題「Gを少なくとも5要素の置換群とし、3次の巡回置換をすべて含むものとする。NをGの正規部分群で、アーベルな商群をもつとする。するとNもまた3次の巡回置換をすべて含む。」の「証明」だった。

ツンドク（積読）状態だった『ガロア理論入門』を読んでみようという気になった。これはガロア以降のガロア理論である。

今年も干し柿を作るつもりだが、

甘柿はここ数年実らない。渋柿は今年も実っているが、数が少ない。一度、干し柿を作れば終わりである。

こんなこともある

通院している。以前は次の診察日を予約していたが、予約しといても混んでいるときは長く待たなければならず、ここ1年ほどは、予約をせず、空いていると予想した時間に出かけるようにしている。行って、混んでいたら別の日に替えればよいと思っていた（自転車で2分ほどの距離）。

経験的に午前の診察の終り頃が空いているようだった。今日も午前中は草刈り、家事をして、洗濯物を干した後に、出かけた。着いたのは11時半ころだった。駐車場にいつもは何台か止まっているが、今日は1台も止まっていない。待合室にも誰もいない。

いつも検査をしてくれる看護師が「ラッキーだったね」といった。患者はわたし一人だけなのである。HbA1cの検査結果を待っているときも誰もやってこない。貸し切り状態なのだった。

薬局で薬をもらうとき、今日は暇なのかと聞くと、今日だけではなく今週は暇ということであった。先週は午後1時になっても終わらなかったということだった。お盆休みから4週×2回のサイクルで、患者数の少ない週なのだと分析していた。1週間前後どちらにズレても混むだろうということだった。

帰って、正午のニュースを途中から見ることができた。次回はどうだろう。ちょうど4週後に行くといいのだろうか。

「交換子」という名前の由来

群Gの元a、bが与えられたとき、可換が成り立つ条件は
　　　ab＝ba
である。これは
　　　a^－1b^－1ab＝e（Gの単位元）
と表わすことができる。この左辺を交換子と呼ぶ。交換子が単位元に等しいかどうかで可換（交換可能）かどうか判定できるので、交換子は可換性の「物差し」のようなものである。これが名前の由来のようだ。

「交換子」という名称は小林吹代や金重明の本で知ったが、名前にまったく想像力が働かなかった。今日、中島匠一の本でその名の由来を知った。

剰余類を群化できるか

YouTubeに数学の動画を配信している「式変形チャンネル」がある。かなり前に見ていたことはあるが、最近はまったく見ていなかった。たまたま「群論」の講義があり、途中の「群論08 剰余類の演算定義の問題点 〜正規部分群の導入〜」を見はじめたら、興味深かった。「剰余類を群化できるか」という問題意識でS₃を例にして進められていた。ガロアの正規部分群の発見（導入）を思い出しながら見ていた。

A₃（交代群）で2つのグループ（位数3）に分けると2つの群に群化できる。それは平方根の添加と対応して、まず二次方程式が解ける。そしてその立方根（位数3）を取ることによって、3次方程式の解の公式と結びつく。しかし、3つのグループ（位数2）に分けると群にはならない。次に進むことはできない。これを区別するのはaH＝Haである、等々。aH＝Ha以前に、群が可能な演算の定義があることを知った。

群論09 正規部分群 〜安心して剰余類の演算定義
群論10 剰余群
群論11 準同型写像の定義と性質
群論12 カーネル(核)の定義と性質 群論
群論13 準同型定理

を見続けた。

ガロアは計算の上を飛んだ

3次方程式を解く場合、u³、v³の2次方程式、合わせて6次方程式を解く。これは実際に公式が把握された過程で現れたことであり、ラグランジュが発想を逆転させて解の方から方程式を見直したときにも現れてきていた。

ガロアはラグランジュの単拡大定理を継承して、与えられた方程式を解く場合、それと等価なガロア方程式を解けばよいと考えた。

ところで、n次方程式の解はn個あり、その置換の総数はn!個となる。2次方程式は２、3次方程式は６、4次方程式は24である。この置換の総数は一般的なガロア方程式の次数に等しい。（解に特別な関係がなく、最小多項式が既約なとき）。

5次方程式の場合、120次方程式を解くことになるが、これはおそろしく複雑で計算としては不可能である。実際に公式は発見されなかった。そこで、ガロアは「計算の上を飛ぶ」ことになった。

ガロアは代数方程式と等価なガロア方程式を導き、その解の置換からガロア群を構成して、群の構造を調べた。そして、5次方程式は代数的に解けないことを示した。

明日は農地環境保全の活動に行く

明日は今年最後の農地環境保全の活動日である。用水路や悪水路畦畔の除草や泥上げ、ジャンボタニシの駆除が主な活動で、土曜日の午前6時から8時までの2時間やることになっている。これまでの5回は天候に恵まれた。昨日、今日と雨降りだが、明日は曇りの予報で、予定通りできるだろう。

前回使った噴霧機の除草剤が1/4ほど残っていて、これを明日までに空にするつもりだったが、あいにくの天候で延期してきた。雨は上がったようなので、これから庭（通路）に散布して空にする。そして充電して明日に備える。