高次元空間の隙間の大きさ

この記事の元ネタ：「位相への30講：志賀浩二」のコラムより

４次元以上の多次元空間では日常感覚では理解できないことがいくつも明らかになっている。今日はそのひとつを紹介しよう。久しぶりの「理科復活プロジェクト」で、これは高校生や一般読者向けの記事である。（このカテゴリーの趣旨はこちらの記事で述べておいた。）

直径が１の青い円を４つ、下の図のように並べる。すると周りを囲む正方形の各辺の長さは２となる。このとき４つの円の真ん中の隙間に置いた赤い円の「半径」はどれくらいになるだろうか？



正方形の対角線の長さは ２√２ で青い円２つぶんの直径は２である。前者から後者を引いたものは赤い円の「直径」２つぶんになっていることに気がつくのにそう時間はかからないはずだ。よって赤い円の「半径」は次のとおり。

赤い円の半径＝（２√２－２）／２／２＝（√２－１）／２＝０．２０７

同じことを３次元空間で考えてみたらどうなるだろう。図としてはこのようになる。



赤い球を囲む青い球の数は、２倍の８個となる。青い球の直径は１だから周囲の立方体の１辺の長さは２だ。そうすると立方体の頂点から反対側の頂点まで、これを「対角線」と呼ぶことにすれば、この長さはピタゴラスの定理を２回使えば２√３であることがわかる。すなわち赤い球の「半径」は次の式で計算できることがわかるのだ。

赤い球の半径＝（√３－１）／２＝０．３６６

２次元のときより赤い球は少し大きくなっている。

さらに４次元空間ではどうなるだろうか？図を思い浮かべることはできないが、４次元の世界では球は「超球」と呼んでいる。けれどもここでは単に「球」と呼ぶことにしよう。４次元の超立方体も「４次元立方体」と呼ぶことにする。

次元の数が１つ増えるごとに、周囲の青い球の個数は２倍になる。なぜなら次元の数１つ増えると青い球が２つ並ぶだけの長さの辺が１本増え、ひとつ低い次元のときに立方体に詰まっていた青い球の個数が既にあるひとつひとつの次元で２倍に増えるからだ。（わかるかな？２次元から３次元の場合を考えてみるとよい。）

４次元の青い球の直径は相変わらず１なので、４次元立方体の各辺の長さは２となり、対角線の長さはピタゴラスの定理を３回使って２√４＝４となる。すなわち４次元の場合の赤い球の「半径」は次の計算で求めることができる。赤い球はさらに大きくなった。

４次元の赤い球の半径＝（√４－１）／２＝０．５

このように考えていくと、ｎ次元空間の立方体の対角線の長さは２√ｎとなるから、赤い球の半径が次の式で計算できることだろう。

ｎ次元の赤い球の半径＝（√ｎ－１）／２

おお、すごい！一般式は正しそうだ！

２次元のときでもちゃんとこの公式は使えるだろうか？２次元の球とは、つまり円のことだ。ｎ＝２を公式に代入して計算すると以下のようになる。ま、これは当たり前か。

２次元の赤い球の半径＝（√２－１）／２＝０．２０７

それでは、１次元のときも大丈夫だろうか？１次元の青い球とは、すなわち長さが１の青い線分であり、図にするとこんな感じで、球も立方体もつぶれてしまう。（立方体は長さ２の線分になる。図では真ん中の長い線が立方体で、上下にずらして描いた２本の線が２つの青球をあらわしているつもり。）



それでも公式を使えば赤い球（線分）の半径は次のようにゼロと求まる。赤い球の入る余地など全くないのだ。

１次元の赤い球の半径＝（√１－１）／２＝０

このように「公式」は一般的にｎ次元空間でも成り立ちそうなので、さしあたり１５次元空間まで計算してみると、このようになった。（画像はクリックで拡大する。）



うーむ、素晴らしい。。。。それにしても青い球はずいぶんたくさんになるんだな。。。

あれ？何か変だぞ！！！

そう、１０次元の行を見てほしい。真ん中の赤い球の「半径」は１．０８になっている！つまり赤い球の「直径」は２．１６となり、外側の１０次元立方体からはみ出してしまうのだ。なぜなら立方体の辺の長さは何次元であろうと２なのだから。

１０次元の青い球はすべて１０次元立方体の中にあるはずなのに、その真ん中の隙間に収まっているはずの（１０次元の）赤い球は１０次元立方体の外にはみだしている！！１０次元以上では赤い球の半径が１より大きいのでいつも立方体からはみ出しているのだ。

日常感覚では理解できないことが、高い次元の空間ではおきているのだ。今回のはその一例である。

関連リンク：

キス数：
http://blog.goo.ne.jp/ktonegaw/e/3fff2b46269846dff3db22e01744d085

ｎ次元球の体積：
http://eman-physics.net/statistic/sphere_vol.html


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