算額（その1367）

算額（その1367）

四十一 群馬県高崎市下小鳥町 幸宮神社 文政7年(1824)
群馬県和算研究会:群馬の算額，上武印刷株式会社，高崎市，1987年3月31日.
キーワード：直角三角形，鈎股弦
#Julia, #SymPy, #算額, #和算

直角三角形の面積が 756 歩，股寸と弦寸の和が 1 丈 4 尺 7 寸のとき，釣，股，弦はいかほどか。

直角三角形の三辺を「鈎」，「股」，「弦」
直角三角形の面積を K1
股と弦の和を K2
とおき，以下の連立方程式を解く。

using SymPy
@syms 鈎, 股, 弦, K1, K2
eq1 = 鈎^2 + 股^2 - 弦^2  # こちらで与えると解けない
eq1 = sqrt(鈎^2 + 股^2) - 弦
eq2 = 鈎*股/2 - K1
eq3 = 股 + 弦 - K2;
res = solve([eq1, eq2, eq3], (鈎, 股, 弦))[3]  # 3 of 3

   (6^(2/3)*(12*2^(1/3)*K2^2 + 18^(1/3)*(1 + sqrt(3)*I)^2*(18*K1*K2 + sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(2/3))/(36*(1 + sqrt(3)*I)*(18*K1*K2 + sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(1/3)), 12*K1*(1 + sqrt(3)*I)*(108*K1*K2 + 6*sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(1/3)/(12*2^(1/3)*K2^2 + 18^(1/3)*(1 + sqrt(3)*I)^2*(18*K1*K2 + sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(2/3)), (12*K1*(1 + sqrt(3)*I)*(108*K1*K2 + 6*sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(1/3) + K2*(-12*2^(1/3)*K2^2 - 18^(1/3)*(1 + sqrt(3)*I)^2*(18*K1*K2 + sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(2/3)))/(-12*2^(1/3)*K2^2 - 18^(1/3)*(1 + sqrt(3)*I)^2*(18*K1*K2 + sqrt(3)*sqrt(K2^2*(108*K1^2 - K2^4)))^(2/3)))

解は 3 組得られるが，3 番目のものが適解である。虚数解として得られるものがあるが，虚部は実質的に 0 である。

鈎，股，弦はそれぞれ，21 寸，72 寸，75 寸である。

res[1](K1 => 756, K2 => 147).evalf() |> println
res[2](K1 => 756, K2 => 147).evalf() |> println
res[3](K1 => 756, K2 => 147).evalf() |> println

   21.0000000000000
   72.0 - 8.67361737988404e-19*I
   75.0000000000000