数学者は論理的な夢を見るか？

　どうも前回の「役に立たない勉強」へのコメントを拝見していると、誤解されるような書き方、特に表題がよくなかったかなと反省しています。私は数学が論理的思考を養うのに役立つと思っていますし、本当は（人工言語でかつ修飾語のない数式で記述されることなどから）数学は厳密にものを考えるのに不可欠だと思っています。また、科学の成果を（一般向けの啓蒙書などによらず）自分で確かめようとすれば大学初級程度の数学の知識は不可欠です。
　言いたかったのは、数学のそうした必要性、役に立つことがきちんと学生を始めとしたふつうの人たちに説明されていないということと、数学教育（算数教育ではありません！）を無用又は懐疑的に見る人たちの方が優勢なのではないかということです。つまり数学教育が「強制」されているから、意趣返しを受けているのではないか、“すっぱい葡萄”のような扱いを受けていると感じたのです。
　でも、もし私の考えが誤解されていたとしても、無視されるより何倍もいいことだと思いますし、こうやって前回の二つの論点についての私の考えをストレートに述べることができたので、感謝申し上げたいと思います。

　さて、今回は論点のうちの一つめをもう少し掘り下げたいと思います。数学がなぜ論理的思考に役立つのか、その根本的な理由は何かということです（二つめの数学の科学への応用や寄与については、今さら論じる必要はないでしょう）。この問題を考えるには、用語の定義とか中間的に整理、検討しておくべきことはいろいろあると思いますが、ぜーんぶすっ飛ばしてｗ、結論だけ言ってしまうと、３つくらいの立場にわかれるように思います。
①「論理的思考」とは「数学による思考」に他ならないので、役立つのは当たり前と言うか、トートロジーであるという立場。「数学による思考」を例えば「記号論理学」に置き換えればわかりやすいかも知れません。
②数学の論理の進め方と人間の脳の論理的思考を司る機能が同じだからだという立場。
③数学的論理構造が（人間の脳を含めて）この世界の構造そのものを表わしたものだからだという立場。
　このうち、①は正しいかどうか以前に何の生産性もない不毛な議論でしょうし、論理的な思考と数学的思考が近しい関係にあるのは、古代ギリシアと現代くらいだという歴史的事実を無視しています。例えばインドや中国の仏教哲学や儒教、イスラム哲学は数学とは無関係に高度な発展を果たしてきたからです（そうした過去の哲学思想が記号論理学のようなものに還元あるいは翻訳できると主張するのであれば、ちゃんと原典を読んだの？って言うしかありません）。逆に江戸時代に高度なレヴェルまで発展した和算は、同時代の儒学における論理的思考の発達（荻生徂徠などなど）と比べると論理的展開力に乏しいのです。つまり現在では考古学的関心の対象にしかならないのです。
　次に②は、まあいちばん無難な解答だと思われます。脳の機能の一部を数学として切り出したのだから、原理的に同じになっているに決まっていると言えばもっとわかりやすいかも知れません。「脳機能→数学」という写像なのだからというわけです。
　これを否定することはむずかしいですし、やめておいたほうがいいと思いますが、一つだけ指摘しておきたいのは、チューリングマシンのことです。チューリングマシンには有限回で停止することができない命題が存在し、かつある命題が有限回で停止するかどうかを事前に判断することが不可能であることをチューリング自身が証明しました（そしてこれはゲーデルの「不完全性定理」と同値であると言われています）が、このことは今の文脈でどう理解されるのかということです。
　「脳機能→数学→チューリングマシン」であるならば、おおもとの脳自体に堂々巡りになっていつまで経っても（この宇宙が終わっても）解決できないことがあって、しかも堂々巡りになることを予防できないということなりますｗ。そんなのよくあることじゃないのって思うでしょ？　でも、数学で起きるなんて……論理的思考を追求して行った先は、こういうことになってるんですよね。
　なお、チューリングマシンは現在のコンピュータの基本機能を（私の理解では）あますところなく描写していますので、「脳機能→数学→チューリングマシン→コンピュータ」という写像が成り立ちます。ここで、「数学→チューリングマシン」が全射なのか、すなわちチューリングマシンに数学がすべて還元されるのかは、私の乏しい知識では答えられません。また、「チューリングマシン→コンピュータ」が全射なのか、すなわち今後開発されるコンピュータあるいはＡＩが原理的にチューリングマシン以外のものとなりうるのかは、「脳機能→コンピュータ（ＡＩ）」が全射になりうるのかという問題との関連でも、非常に興味のあるところです。
　③ですが、数学によってこの世界の構造、平たく言えばどういうものなのかがわかるって言ってるわけですから、これはまず非常識です。だから私は好きですｗ。中学とか高校の授業で教師が言ったら、嘲笑されてしまうでしょうけど。世界の構造なるものが示されない以上、証明は不可能、って言うかぁ信念、信仰みたいなものですからね。でも、数学者の頭の中にはかなり根強くあるようで、特に応用数学でなくて数論のような基礎数学の分野では多いみたいです（博士の愛した数式かな？ｗ）。
　これは、あっさり言ってしまえばいわゆるイデア論に基づく発想で、現実世界を超えたイデアが真の実在であるという考えですからプラトニズムです（日本の数学者は哲学の知識が十分ではないようにも思いますが）。ただ急いで言っておくと、プラトンの「国家」を始めとした著作といわゆるイデア論やプラトニズムとは違ったものと考えた方がいいと思います。プラトンの展開している議論はそうそう簡単な要約を許すようなものではありませんし、例えば今の議論とはぜんぜん違う分野ですが、カール・ポパーの有名な「オープン・ソサエティとその敵」などはプラトンの著作をまじめに読んだとは思えない代物、自分の主張のダシにプラトンを使っているだけだからです。
　それはさておき、フェルマーの最終定理についての本を読んでいて、特に谷村・志村予想（ワイルズの証明はこの予想の一部を証明する形で行われたのですが）を知ったときには、この世界の構造を把握する、宇宙をまたぐ壮大な架け橋を見たような思いにとらわれました。確かにああいう研究をしていると、神の設計図を垣間見るような気持ちになることもわかるような気がします。多くの数学者が敬虔な信者になるのは、当然なのかも知れません。
　さて、数学が役に立つかどうかから出発しながら、ずいぶん実生活から離れたところまで来てしまったようです。でも、本当の意味でものごとを考えている人の考えは数学者に限らず、ふつうの人が生ぬるい感覚でおしゃべりしているものとは何にも関係はないのです。