①時系列分析の単位根過程(または1次和文過程)とランダムウォーク

データサイエンスに関する記事である。

1. ☞時系列分析の単位根過程(または1次和分過程)とランダムウォーク
2. 　対数差分を活用した解析をするために
3. 　非定常な系列を定常性を持った系列に変換する

※前回の記事参照。出来次第リンク付けます。

 

時系列分析を行う際に頻出するもので、身近な時系列データの多く(例を挙げるなら株価など)は単位根過程の一つであるランダムウォークに従うと言われている。また、統計を学んでいる方であればご存じのARIMAモデル（「Auto Regressive(自己回帰)」と「Moving Average(移動平均)」の「Integrated(統合・和分)」のイニシャル）もその一つ。

 

今回は、単位根過程とは何ぞや？に始まり、その後に代表的な単位根過程に関連する和分過程(これは簡単に)とランダムウォークについて記す。

 

★単位根過程(1次和分過程)

単位根過程は以下のように定義される。

任意の時間の値をy(t)(簡単のため現在)が非定常であり、また、一つ前の値y(t-1)との差分系列y(t) - y(t-1) = Δy(t) が定常であるとき、y(t)は単位根過程である。

 

では、時系列分析を行う上で、どのような場合に単位根過程を用いるのか。

・単位根過程を用いたモデルについて考えるとき。

・時系列データの回帰分析を行うとき。

ただし、時系列データの回帰分析を行う際、単位根過程に従う二つの系列x(t):株価系列、y(t):地震活動系列があったとして(もちろん全く関係がない2つのデータであるが)、これらを回帰させてしまうと、あたかも有意な相関を見出してしまう「見せかけの回帰」が行われてしまう。これを避けるには単位根検定を行う必要がある。

※単位根検定については別記事にてPythonコードとともに記載する予定(予定は未定ｗ)。

 

★和分過程

和分過程は、一階差分( t-1 )の定常性->(これを1次和分過程と呼ぶ)に限らず、n階差分について考えることができるため、表現できるモデルの幅が広がる。

 

★ランダムウォーク

代表的な単位根過程である。これはどのような式で表されるのか。

◆drift項を持つランダムウォーク　　p(t) = p(t-1) + μ + e(t)

• p(t)、p(t-1)は非定常である。
• μはランダムウォークのドリフト項と呼ばれ、トレンドを表現。
• e(t)は平均0、分散σ^2のガウス分布を示す。

◆差分系列(これはlog returnを表す。)　　r(t) = p(t) - p(t-1) = μ + e(t)

• r(t)は平均μ、分散σ^2のガウス分布を示す。
• μ + e(t)は定常過程である。

だいぶ割愛させてもらったが、とある分野においてこの考え方は非常に重要になってくるため、ヒントは載せたがここでは敢えて簡単に書くこととした。

 

以上を持って、第1回目は終了。