オイラー類と第一チャーン類は、異なる種類の線束に関連するトポロジー的な不変量ですが、互いに変換可能であるわけではありません。
1. オイラー類
オイラー類は、実ベクトルバンドルに関連する不変量であり、特に実線束のトポロジーを示します。オイラー類は、ファイバーの次元が1の場合に特に意味を持ち、整数値を取ります。オイラー類は、実線束の「ねじれ」や「絡まり」を捉えるための指標です。
2. 第一チャーン類
第一チャーン類は、複素ベクトルバンドルに関連する不変量であり、複素線束のトポロジーを示します。第一チャーン類は、ファイバーの次元が複素数空間である場合に関連し、通常は整数値を取りますが、オイラー類とは異なる性質を持っています。
3. 異なる文脈
オイラー類は実線束に特有のものであり、第一チャーン類は複素線束に特有のものです。したがって、オイラー類と第一チャーン類は異なる文脈で定義されており、直接的に変換可能ではありません。
4. 関係性
ただし、実線束を複素化することで、オイラー類と第一チャーン類の間に関係が生じることがあります。具体的には、実線束のオイラー類は、その複素化されたバンドルの第一チャーン類に関連付けられることがあります。この場合、実線束のオイラー類は、複素線束の第一チャーン類の特定の情報を反映することができます。
したがって、オイラー類と第一チャーン類は異なる不変量であり、互いに変換可能ではありませんが、特定の条件下で関係性を持つことがあります。具体的には、実線束のオイラー類は、その複素化されたバンドルの第一チャーン類に関連することがあるという点で、間接的な関係が存在します。
考察
オイラー類と第一チャーン類は異なる不変量ですが、共通する間接的な関係が存在しており、共通している数と、異なる数には、トポロジー的な違いがあると推測できる。