2019年 筑波大学 理系数学 2番

死に戻り…………

実はこれを書く前に3000字ほど書いてたんですが、何があったかわからないのですが一瞬にして全て消えてしまいました。

コロナウイルスでオンライン実習なこと、病院にコロナウイルスを持ち込んではいけないこと、色々書いてたのですが全て消え去り、かなり悲しくなりました。これからは下書き保存します。

今度気が向いたときにもう一回書くことにして数学します。

本日は2019年筑波大学理系数学の2番。

(1)の式と(3)の式はなんか似てますね、形が。

(2)の数字は(3)に使われてますね。

(1)〜(3)は繋がっていそうです。

では、(1)をさっそく攻略しましょう。

不等式の証明ですが、基本は

[大とされているもの]-[小とされているもの]

の式を作り、これが0以上(もしくは0より大きい)を示すんですよね。例に漏れず、これもそうしちゃいましょう。

さて、この分数を計算します。

そしたら、こんなふうに0以上と示されます！x/a,y/b,z/cは全てM以下、a,b,cは正の実数なので！！(記述はちゃんと書いてくださいね)

あっけないので、別の解き方も少し探してみましょう。

この問題、x+y+z/a+b+cですが、こんな繋がった分数を見ると、あの問題を思い出します。

分母が0にならないよう問題はx,y,zに配慮しないといけないんですが、今は置いておいて。

解法を知っている方は、

「=kとおく」

という方針が打ち立てられると思います。

そしてx=k/3、y=k/5、z=k/7として、代入です。

僕はこれに似た方針をこの筑波の問題に取り込みました。

同じように、x=ka、y=lb、z=mcとして、代入してみましょう。

k,l,mのなかで1番大きなものに注目してください。k,l,mのどれが1番大きいかはわかりませんが、それをnとすると、

ka+lb+mc≦na+nb+nc=n(a+b+c)

という計算ができます。

nはk,l,mのいずれかなので、n≦Mが成立していることを考えると、

このとおり、≦Mが示せます。

不等式証明の基本である大-小からは外れてしまいますが、一応これを別解としておきましょう。

次に(2)です。見ただけで「いや、そりゃ底の小さいほうでしょう！」と言いたくなりますが、問題となっているからには説明しないといけませんね。だからといって「底の小さいほうが大きいです」とか言うのはなんか違います。

まあこれも不等式ですし、一応引き算くらいして証明しましょう。大きいとされるほうは問題には明記されてませんが、底が小さいほうだっていうのは問題を解いている皆さんがもうご存知ですよね？

よって、元の式は>0なので……的なので良いでしょう。

これもとんでもなくあっけないですね。別解探しましょう。

一瞬「は？そんな当たり前のことを…何を今更…」って思った人は、背理法を考えたのではないでしょうか？証明しにくい問題は背理法やら待遇やらで解けという話がありますが、これも背理法で解けます。

こんなふうに解くの僕は好きです。本番なら引き算しますけど。

眠いので(3)に入ります(深夜3時半)。

ラスボス的風貌ですよね。この問題だけで出されたら、受験生はもしかしたら見た目の厳つさに捨ててしまうかもしれません。しかし、我々には(1)、(2)という強い味方がいるのです。さっそく攻略にかかりましょう。

(1)の形と(3)の形を比べてください。どこの文字がどの数字に対応しているのかを把握しましょう。

対応を見つけてしまったら簡単です。

(3)の数字で、(1)に倣えばいいのです。

(答案にいきなりこれ書いたらダメですよ！これはメモ！なぜなら…)

あとは、上の3つの不等式のうち、右2つを証明すれば下の不等式が成り立つと言えます。

(まだ示していない式があるからです！示してからこの答案を書いて行きましょう！！)

1番右上の不等式ですが、全部がn乗ですよね。なので、n乗根をとったものを大小比較してあげればそれでよいです(眠いので説明が雑)。

ちょっと誰でも簡単に発想できる解法が思いつかなかったので少し難易度上げますが…

青文字の通りですよね。

(ちょっとlog○○の書き方が分からないので全部ホワイトボードに書いて誤魔化してるんです。写真ばっかりですが許してください)

で、大小を比較するその２数ですが、大体どれくらいの値なんでしょう？

両方ともに2を超えていることはわかります。でもどちらも3より小さい。

しかし、左の真数が25のやつのほうが、右の真数5のやつよりも3に近いと思いませんか？？右の真数が5のやつのほうが2に近いと思いませんか？？

だって、25は9に比べたらはるかに27に近いんです。底が3の対数は3に近いでしょう。5は8に比べたら4に近いんです。底が2の対数は2に近いでしょう。(あ　く　ま　で　感覚です！！)

このような予想です。じゃあ、これを証明するならどうしましょう？

間の5/2をとってきて、それぞれと5/2の大小を考えてみるのが良さそうじゃないですか？？

完璧ですね。

続きは4つ前？にあげた画像の通り。

さて、これで問題おーわり！！ではなくて、なんか問題にはもう片方に変なのついてましたよね。

1より大きいことを示さなければいけないんだとか。全然大したことありません。(2)で示したことをつかえば、分子の方が大きいことは簡単に証明できると思います(眠いので略)。

この問題では、大小をどうやって示すかをたくさん問われました。基本に従って引き算をするのもありですが、(2)のように当たり前すぎて引き算さえ思いつきにくいもの、(3)の途中に出てきたあの２数のように間に何か挟んでやるとやりやすいものなど、色々です。

(2)は引き算をしなくても、はたまた背理法をしなくても、底と真数をひっくり返して(つまり逆数にして)評価する方法とかもありますし、(3)は間に数字入れなくても(2)同様に底と真数をひっくり返したもの(つまり逆数にしたもの)を引き算して評価するなど、本当に色々です。

いっぱい勉強しましょう。いろんな見え方すると、楽しいですよ。

4時半です。おやすみなさい。

アクセント…………調べる根気が………

1999 京都大学 数学 大問2

書きたいときに書きたいことを書くスタンスを取ると、どうしても頻度は少しずつ減っていきますよね…だいたい指数関数的減少だと思っています。いや、それじゃあすぐ0になってしまうじゃないですか、不吉な。

今日は数学しちゃおっかなぁ〜と思って、1つ問題を抜き出してきました。

1999年京都大学入学試験より

平面上に2定点A,Bをとる。cは正の定数として、平面上の点Pが

|PA||PB|+→(PA)・→(PB)=c

を満たすとき、点Pの軌跡を求めよ。

表記がわからなかったので……→(○)は「ベクトル○」を表していると思ってください。

あんまり各地で取り上げられることはない問題かと思います。かくいう僕も、「うわぁ！めっちゃいい問題ジャーン！」とはならないなぁ…。

"軌跡を求めよ！"の文言を見ただけでゲロを吐く方は本当に多いと思います。それもこれも媒介変数を絡めた問題たちのせいなのですが、この問題はそういった謎の数字は今のところ見あたらなさそうですね。解いているうちに出てくるかもしれませんが、そんな問題には僕は出会ったことないかも…(忘れてるだけかも)

この問題、Pの軌跡を求めるというわけですから、P(x,y)と置いてこのxとyの関係を見つけてあげたらいいと考えます。そこで問題になるのが、「え、でもAもBも座標で表されてないじゃないですか！」というもの。

座標が書いてないなら置いちゃえばいいじゃない！！

AとBは定点という条件しか与えられていませんので、全然具体的じゃないなぁと思うかもしれません。しかし、

A(k,0)、B(-k,0)  (kは正の実数)

と置くだけで一般性を失わずに座標にのせることができます。具体的な縛りはなくものすごく自由な点たち(だからといってPのようにチョロチョロ動き回らない)です、「距離が100離れている」だったり「あるところから斜め45°むいて500離れてる」だったりするんです。それが直線ABを軸に、ABの中点を原点に置く座標系を考えてしまえば、全てのケースをA(k,0)、B(-k,0)などというたった1行で表現できてしまうだなんて神秘！とは思われませんか。

すごく話が逸れましたが、あとはバリボリ計算をしていければと思います。

整理しましょう。

最後の式、明らかにルートだけ片方に残しています。目的は分かりますよね？もう2乗することしか頭にありません。

しかしここの2乗の操作の前に、xとyに条件が付きます。(ちょっとここから長い)

最後の式ですが、左辺が0以上の実数で計算されるはずですから、右辺も0以上の実数にならないといけないはずです。よって、c+k²≧x²+y²という条件が必要になります。

これがないとどうなるか…説明することが難しいんですけれど、トライしてみたいと思います。

仮に、さっきの写真の最後の式の左辺・右辺がともにAという数字(わかりにくければ8でも10でもなんでもどうぞ)になるようなx,yがあるとします。左辺は必ず0以上の実数ですから、A≧0です。

すると、2乗してももちろん両辺で=が成立することは問題ないでしょう。

次に、左辺がA、右辺が-Aとなるようなx,yがあると考えてください。A≠0のとき、もちろんこれはイコールが成立しません。(A=0は実は

k=0の場合のみで起こりうるもので、k=0は2定点A,Bが同一点になってしまいますから、今回は省くことにします。)

しかし、両辺を2乗すると、両辺ともA²となり、=が成立してしまいます。

一体何が問題なんですか？それは、答えがどの式から導出されるかに関わります。

この２つの式ですが、①は問題の条件から立てられた式、②はそれを2乗し、今から整理して答えの形を暴くぞ！の式です。我々は②から答えを見出そうとしているのです。

しかし、②の式だけであれば、さっき見たように「①は成立しないけど②は成立するようなx,y」も許してしまうことになります。

これはまずいことです。②を弄って「やったぁ！答えだ！」と出た式は、①を成立させない(x,y)を答えに含めてしまっているのです。つまり、問題の条件に合わない(x,y)を答えていることになる…もう0点でしょう。

なので、②だけでなく、①が成立するための(x,y)の条件が必要なのです。その条件により、問題文に沿う答えが出てくるのです。

言葉の説明だけだとなんかアレなので、僕のイメージ図描きます。

どんな問題でも、香ばしい式変形のところでバイ菌が入ってくるんですよ。そのまま進めば、我々は感染した答えを出すことになります。そしてこの答えは、問題文の意図する条件だけでなく、バイ菌たる「問題の意図とは違う条件」のものまで映し出してしまうのです。

この問題においてバイ菌は「①では成り立たないけど②では成り立つ(x,y)」です。そして、バイ菌の侵入を許さない消毒液が、今回の問題にあたってはc+k²≧x²+y²という条件なのです。

じゃあ今度は、その消毒液によってバイ菌を断てたことをどう判断しましょうか？

それは、②から①へ戻るときにバイ菌コースが消えていることを確認すれば良いのです。

上は消毒液によるバイ菌コースぶっ壊しのイメージ図です。

本問題では、こういうことでしょう。

②から①に戻ろうとするとき、②だけではバイ菌コースがまだ残っているのです。

これを…

消毒液たるc+k²≧x²+y²で、バイ菌コースを壊すのです。この条件があれば、バイ菌コースの先にあるあの式は左辺が正、右辺が負となり必ず成立しないことになります。遡ろうとすれば、②の式から①すなわち問題の条件へ戻ることが確定となったのです。バイ菌退治！！

問題を解く上では、こうやって条件→答えの逆をしたときに1本道で答え→条件に戻ってこれるかどうかを意識するのが大事です。途中で分岐点があれば、出した答えは問題の条件以外のものまで含んでしまいます。(そもそもが「○○ならば……」を示す問題なら話はまた別ですが)

本筋に戻しましょう、計算をゴリっとな！

もちろんむやみに展開してなんかいませんよ！！多少の工夫を考えながら開いています！！

まだまだぁ！！！

はい、計算としてはゴールインです！！

楕円でしたね！それもx軸方向に少し伸びた形のやつです。

この楕円は、さっきのc+k²≧x²+y²を満たすのでしょうか…？式で考えるのも大変なので、図を描きましょう。

青の斜線のところが、消毒液ゾーンです。この楕円は消毒液で守られているゾーンに完全に浸かっています。セーフです！

では！この楕円を答えて終いだ！！

と安心するのは少し早く…

我々は問題に与えられていない"座標"という道具を使うことで楕円を暴きました。しかし、問題では座標を使っていないため、答えるには座標に頼らない答え方をする必要があります。

そこで、定点A,Bに活躍してもらいましょう。こいつらを使って、この楕円を上手く表現できないかを考えます。

この楕円の焦点を計算してみてください。(±k,0)となりませんか？？……そうつまりA,Bはこの楕円の焦点なのです！！

よっしゃ！じゃあ「軌跡はA,Bが焦点の楕円」でどうや！！！

それもまだ早いです。楕円は焦点だけで決まりません。楕円の定義にこんなものがあったのを思い出してください。

「楕円とは、平面上のある2定点から距離の和が一定となるような点の集合から作られる曲線である。」(Wikipedia様より)

そう、楕円を決めるのは2定点(焦点)と"距離の和"なのです。我々は今2つの焦点について説明しましたが、まだ距離の和がいくらになっているか？？については説明していません。距離の和…どこに現れるのでしょうか……？？

勉強している方なら知っているはずです。距離の和は長軸の長さに一致するんですよね！今回の問題では長軸の長さは

2√((c+2k²)/2)=√(2c+AB²)

と計算できます。

今度こそ…！

答えは

「A,Bを焦点とする、2点A,Bからのそれぞれの距離の和が√(2c+AB²)となる楕円」

(もしくは「A,Bを焦点とする、長軸の長さが√(2c+AB²)となる楕円」でも楕円は一つに定まります)

でどうでしょう！！

はーしんどかったでございます。

こんな計算をしなくても解ける解法があって、そっちの解法はなんかベクトル方程式チックなんですけど、最後の式の形に言及して「いやーこの楕円の定義と双曲線の定義の距離の和距離の差の話、たまーにポッと出てきて受験生の心を殺していくよね〜」的な話をしようと思ってたんですけど、書いてるうちに予定が完全に変わってしまいました。

皆さんも、バイ菌の侵入を防ぐことを頑張りましょう！そしていっぱい点数稼いでください！！！！(ちなみに上の僕の答案でバイ菌を防ぎ切ったとは言ってません。ミスがあれば謝罪します。)

誰向けの日記なんやこれは…

長いですが、さいごまでありがとうございました。アクセントの元気はありません。

2020/07/06

世の中には、感覚に反する事実というものが存在します。

例えば誕生日問題などは皆さんどこかで耳に挟んだことがあるのではないですか？

「n人集まった時、その中に同じ誕生日の人の組み合わせが少なくとも1つある確率をPnとする」

このときにP23≧0.5となる事実は、正直衝撃的です。何のことかわからない人のために噛み砕くと、

「23人集まれば、その中に誕生日が同じ人がいる確率は50%を超える」

ということです。こんなの信じられます？そんなこと言われてマジ？ってなりません？？

はっきり言いまして、僕は信じていません。

小学校の時は45人の学年でしたが、誕生日が同じ人はいなかったと記憶しています。中学高校はそんな誕生日で祝うとかいうことは僕は全然なかったし、浪人した時もお友達たちはみんな誕生日バラバラ、大学に入ってからもあいつとこいつは誕生日が同じだ！とかいう話を聞きません。

最近になってやっと「あ、○○さんと○○さんが誕生日同じだ！(どっちも芸能人」を発見しました。また、自分と誕生日が同じ知り合いができました。

ここで、僕はシンプルに知り合いが少ない、つまり「友達がいないぼっち」なのではないかととても心配になりまして…！！なので、「僕友達いるもん！」と自信をつけるため、確率を使って何人くらい友達がいるかを推測してみることにしました！！

(数学的手法としてはあまりにもガサツです、本気にしないでください。)

僕には、自分と誕生日が同じである知り合いが少なくとも1人います。少なくともというのは、知り合いの誕生日を全員分把握していないからです。

自分が他人と対面した時、その人の誕生日が自分と同じである確率を1/365としましょう。(誕生日の偏りがないと仮定しています。…本当は「ｸﾘｽﾏｽﾆﾃﾞｷﾁｬｯﾀｧ…」な人が多かったりするかもしれませんが断固無視です)

n人の集団を考えた時、この中に1人も自分と誕生日が一致する人がいない確率は、

(364/365)^n

と計算できます。

"1人もいない"の反対は"1人以上いる"なので、n人の集団に自分と誕生日が一致する人が1人でもいる確率は

1-(364/365)^n

となります。さて、この数字ですが！なんと！！n=100としても0.24という低確率を叩き出します！言い換えれば、

「100人のお友達がいても、その中に自分とお誕生日がおんなじ子がいる確率は24%」

ということです。誕生日が同じ知り合いのいる僕は、100人しか友達がいないときはこの24%に入るわけです。ちょっと珍しい存在ですよね？

nを増やして200としましょう。すると確率は0.42すなわち42%まで増えます。

「200人のお友達がいて、その中に自分とお誕生日がおんなじ子がいる確率は42%」

と言えば、まぁなんか妥当な数字じゃないですか？200人お友達がいる人を呼んできて、お誕生日おんなじ人いる？って聞いたときに「ああ、いるよ？」って言う人がいてもおかしくないと思えませんか？

問題になってくるのは、確率がいくつからが妥当なラインか、ということです。そこで僕は、「まあ30%くらいなら、いてもおかしくないラインかな〜」というなんとも雑な価値観の元、確率が30%になるようにnを計算してみました。

その結果、n=130ぐらいという数字を得ました！！なんと、僕には130人も友達がいるのです！！

130人の友達って少なくないと思います。これも僕の人望ですか。僕の人望が計算できてしまうとは……これを応用して、誕生日が同じ人間をどれだけ知っているかで友人の数を推定し、人望を数値化するオモチャとか作れそうですね。なんかもう某国がアプリを開発してそうですけれども。

他にも感覚に反する事実というものはこの世に存在しています。また今度お話します。

ありがとうございました。

今日のアクセントです。

ありませんでした。

2020/07/03

書きたいこと書くって先日は言いましたが、結構注意をしていないと「あ、これ面白い！書きたい！」と思えるような出来事には巡り合えないのですよ。僕がもっと感受性豊かであれば話は別なのかもしれませんが、まだその域には達していません。

「推測」という言葉を聞けば、その意味するところがある程度イメージのつく方は多いかと思います。何かしらの理由があって、それを元に「○○"だろう"」「○○"のようだ"」と当たりをつけること、ですよね(ちょっと辞書引いてないけど)。

ここでは、「必ず○○だ」とは一言も言っていないわけで、すなわちその予想が外れる可能性も否定されていません。極端な話、99%当たる推測も1%の確率で間違ってしまうため、間違う時は間違うのです。

今日は、「ある推測に従ったが結果が推測と異なったために○○した一般人」の役作りに励みたいと思います。

では、まず推測を構築しましょう。

ジョーカーを抜いたトランプがあります。AさんはBさんがシャッフルしたこのトランプからランダムに1枚を抜き取り、それがハートの柄であればAさんの勝利、そうでなければBさんの勝利ということにします。25%でAさんは負けてしまいますね。

我々からすればこんなのアンフェアだ！なんて簡単にわかりますが、Aさんにはわからないとします。Aさんは助っ人Cさんを呼びました。

A「C…。このゲーム、俺は勝てるのか？」

①コース

C「勝つ可能性はある」

A「よし、なら俺は勝負するぞ！」

敗北

A「お前！勝つって言ったじゃないか！！」

この場合、Aさんは勝つ可能性という言葉を聞いて「俺は勝てる！」と思い込んだと。それで負けちゃって怒ってます。

・神に愛されていると思っているナルシスト(低い確率でも、0でなければ神の思し召しにより自分は勝利することができるという自信)

・勝ちたいが強すぎて、勝つという言葉に過剰に反応してしまったせっかち

・勝利は根性で掴むため、可能性さえあれば十分と考えている熱血漢

・自分は誰かが勝てると言ったから従ったのだ、それで負けたんだから責任を取れ！という思想の、主体性を持って動くことに距離のある人

他にもあるのでしょうが、思いつける範囲でまずはこれ。さらにここからそれぞれの生い立ちとかを考えていくのがいいのでしょうが、今はここまで。

②コース

C「負けるぞやめとけ」

A「なんかムカつく！やってやる！」

勝利

A「お前！負けるって言ってたよな！バーカ！」

なんで勝負してんねんと。何のために助っ人を呼んで助言もらったんやとは思いますが、この場合、

・Cさんがいまいち気に入らないので天邪鬼になっている(ムカつく対象はCさん)

・不当な勝負を仕掛けられていることに気づき、怒って勝つ気になっている(ムカつく対象はBさん、その後勝ったことで調子に乗っている)

とかとか…？そのセリフ一つ一つが誰に向いているのかを考えることで、気持ちの込めようが変わるみたいですね。

③コース

C「勝つ確率は25%、負ける確率は75%だ」

A「そうか…」

敗北

A「………ｸｿｯ」

ちょっといじけた感じのAさんを用意しました。

・25%の勝率も引けない自分に運のなさを感じ、「やっぱり自分は…」と情けなく感じちゃう自己肯定感の低い人

他にも、①や②で出てきた性格でも普通に使えそうですね。

要は、「都合の良いところ以外話聞いてない」か「自分には特別な何かがある、大丈夫」か「いつもダメだ…(ふと思いがけなく25%で勝てる勝負に挑み負けて)…あぁ、やっぱりダメだ」のどれかなんでしょうかね、僕の思いつくものは。あとは「こんな性格や感情をどうやって持ってくるか」です。イメージだけしてても感情はついてこない場合が多いと思います。日常生活で、自分がこんな気持ちになるその瞬間を切り取って、役作りに活かしたいと考えます。

つまるところ、僕の生活の中で「都合の良いところ以外話聞いてない」なところ、「自分には特別な何かがある、大丈夫」なところ、「いつもダメだ(以下略」なところを持ってくるのです。

「都合の良いところ以外話を聞いてない」

中学生になってすぐの頃ですね。僕はある私立中学を受験し合格を果たしました。ゲームも遊びもかなぐり捨てて、親に監視されながら勉強した甲斐ありです。…すると、中学に入ってから勉強をやめたんです。

「この中学に入ったから賢くなるわ」と思ってたんですよね。中学合格後、通っていた塾の先生から「その中学に行くんだから、ちゃんと勉強についていけば賢くなる」と言われていたものを、「その中学に行けば賢くなる」と、"勉強についていけば"の条件を完全に無視して承知してたもので…成績は散々なものとなったのは言うまでもありません。

結構頑張って合格をもぎ取ったので、浮かれていたんでしょうね。「ま、こんなもんでしょ」なんて調子に乗った態度で(全然余裕がなかったのに余裕ぶっちゃって)、そしたら都合の良いことばっかり耳に残るようになってしまったのかなぁ…当時を振り返るとそう思います。

キーポイント:お調子者　楽天的　浅慮

書いてて思いましたけど、これどっちかというと「自分には特別な何かがある、大丈夫」の優越感ですよね…？

「都合の良いところ以外話聞いてない」の話を書こうとして違うもの書くなんて、相性悪いのかな…絶対そんなことないはずなんですけど、僕人の話聞くの苦手なので。

必死に無い記憶をあさって、再挑戦です。

「都合の良いところ以外話聞いてない」

聞くとは少し違うのですが…僕は野球少年でした。野球が好きでたまらず、中学は野球部に所属していました。速いボールが投げられるようになりたくて、ネットで情報を漁っていたある日、「正しくこの練習をたくさんすれば、必ず肩が強くなります！」というページを発見しました。私の頭の中では「これをやれば…肩が良くなる…！」となって、一生懸命励みました！……やりやすい練習だけ。

"正しく"という部分を完全に無視して、好きな練習のみ好きなだけ励みました。結果、どんどん下手になっていき、「どうして！！」と怒り狂ってしまいました。

キーポイント:無思考　やっているつもり

正しくこれですね。この当時、自分は真っ直ぐ真剣にやっていたんですよ。本当に真剣に。けど、正しくないことを真剣にやっていたってダメなもんはダメなんですよね。当時の迷いや必死さを少しながら覚えているものですから、これを活かしたいと思います。

長くなったので、後の２つはまた今度。

ありがとうございました。

今日のアクセントです。

イメージ [イメ＼ージ]

かなぐり捨てる[カナグリステ＼ル]

浅慮 [セ＼ンリョ]

励む[ハゲ＼ム]

2020/07/01

なんとか、何かしら日記サイトに登録することがかないました。

どうしていいかわからず、いろんなサイトにメールアドレス登録したはいいものの、結局月額○○円だったり、なんかよくわからなかったり(これが一番)……いろんな方面に自分のメールアドレスばら撒いただけで終わりました。

なんとかありつけたこの場所で駄文をだらだらしていこうと思います。その時書きたいものについて書くので、話題が偏ったり、「え？なにそれ？」みたいなものが多くなったり、文量がかなり増えたり少なくなったりしそうです。本当すみません、ご了承くださいませ。

では、今日の書きたいことから。

この前Twitterで1964年第6回IMOソビエト大会の問題を見ました(数学オリンピックです)。

「17人が互いに(どの人も他の全員と)手紙で文通をしている。その手紙では、3つの異なった話題だけが議論されている。どの2人の文通相手についても、いつも手紙の話題は同じ１つのことである。すると、ある3人を適当に選べば、この3人は同一の話題について文通していることを

証明せよ。」

文通、時代ですよね。1964年はもう60年弱も昔の話……東京オリンピックの年……

何か感慨深いものが湧いてくるかなと思って書いてみましたが別になんもなかったです。駄文。

17人が文通してますとなって「何の話題について話しているんだろう？」って考える人は感受性豊かだなぁって心底思います。それくらい心が豊かになりたい。僕は2秒で「話題A,B,C」です。

問題は、「17人のうちのとある3人で、その間の3か所の文通は全て同じ内容であるような人たちがいますよ」ということを示しなさい！と言っているのですね。

どう考えていくのがいいのかなってなった時に、まずは具体的に実験してみよう！というのは、数学の問題を解く上では大事です。なんなら数学じゃなくても、実験でどうなるのか確かめてみる事は重要なことなんじゃないですか？プログラミングは実行してみてそれが命令として適切か、はたまたエラーを起こすものなのかが分かるものと思います。知らないのでこれ以上は深入りしません。

17人から1人抜いてきて、①さんとしましょう。①さんは他の16人と何かしら文通しています。話題Aについて話している相手を考えてみましょう……しかし、話題A,B,Cと言いましたが、①さんはこの3種類全部を話しているとは限らないんですよね。もしかしたらAのことは話してないかもしれないし、逆に全員とAでしか話していないかもしれない。「Aについて話している相手の人数が0〜16人いずれかがわからない」。0〜16で全部試すのか！？具体的に考えてみようとしたところで、ここが最初の考えにくいポイントなのかなと思います。

ここで、一工夫をいれてみました。

A,B,Cの話題で16人と話すのですから、

A+B+C=16

ですよね(雑)こんな適当な立式勝手にしちゃダメですよ！A,B,Cは数字じゃないんですから！！

Aが小さければB,Cはある程度大きく、Aが大きければB,Cはある程度小さくなるという傾向にあります。なぜなら3つの和が16で固定されているので。話される数は0〜16ですが、一番話される話題は少なくとも4,5,6？ぐらいは話されそうですよね。

数学的には、話題A,B,Cに「話されている数が少なくない順にA,B,Cとする」など、数的関係を導入します。すると、

A≧B≧C

の不等式が出来上がり、

16=A+B+C≦A+A+A=3A

A≧16/3>5

すなわちA≧6(上記の通り立式が雑)

と、一番話されている話題の数が6以上だと計算できます。

この、「最低6人と話されている話題A」について考えるとなると、やりやすくなります。「まず①さんが他の6人とAについて話しているとして…」という実験ができますからね。

では、①さんが話題Aを話している6人について考えてみましょう。この6人で文通を行う場合、6C2=15(ペア)が考えられます。6C2が何のことかわからない人は、6人を②〜⑦とでも置いて、2人組のペアを全部書き出してみましょう。

(2,○)  [○=3〜7の5パターン]

(3,○)  [○=4〜7の4パターン]

(4,○)  [○=5〜7の3パターン]

(5,○)  [○=6,7の2パターン]

(6,7)

の1+2+3+4+5=15ペアです。書き出すにしても、同じものがダブらないように数える工夫が必要です。上ではペアを(△,○)と表記する際、必ず△<○となるように注意しています。△>○のペアがあると、ダブってしまいます(例えば(6,4)などは3段目の(4,6)と同じ)。

15ペアのうち、1ペアでも話題Aについて話していれば、題意は満たされます。なぜなら、①さんとそのペアの3人の間では話題Aのみが共有されていますから。

では、考えるべきは「15ペアすべてがAを話していない」ケースです。6人からなる15ペアが残りの２つの話題B,Cについて話している時を考えましょう。

またこの6人の中から具体的に②さんを抜いてきます。②さんは他の5人とB,Cの話題をしていますね。また実験です。話題Bについて話している相手を考えてみましょう……同じく、Bを話している相手は0〜5人で変動します。さっきのAの時ほどしんどくはないですね。0〜16で動かすより、0〜5のほうが気持ちが楽です。0〜5くらい、全部試してみることは十分可能です。

Bの話題0人の時

Bの話題1人の時

………

やる人は頑張ってください！

僕はここでも、先と同じように「②さんが話している話題で、少なくない方をB',もう一方をC'」と設定し直し、

5=B'+C'≦B'+B'=2B'

B'≧5/2>2

すなわちB'≧3

から、②さんが少なくとも3人とお話しているB'を追いかけたいと思います。

この3人で文通を行う場合、3C2=3(ペア)が考えられます。3C2が何のことかわからない人は、頑張って3人でできるペアを全部書き出してください。多分3ペアしかないです。

この3ペアのうち、1ペアでもB'の話をしていれば、題意は満たされます。なぜなら、②さんとそのペアの3人の間では、話題Aのみが共有されていますから。

では、考えるべきは「3ペアがすべてB'を話していないケース」です。3ペアがすべてC'について話している場合を……気づかれましたか…。

まずある人について、1番少なくない数話されている話題について考える。それは必ず6人以上と共有されているので、その中から6人を選んで考える。(中略)そして、その6人の中から1人を選んで、その人について1番少なくない数話されている話題について考える。それは必ず3人以上と共有されているので、その中から3人を選んで考える。(省略)

こんな流れですね。個人的には、話されている話題の数について大小関係の導入が、具体的に考えていく上でとっても重要だったと思える点です。整数問題とかでも大小関係の導入はよくありますが、こんなところにも生きてしまったんですねぇと感嘆の声です。

では、本日の文章を締め括ります。ありがとうございました。最後に、発音アクセントのお勉強です。

かなう(カナ＼ウ)

ばら撒く(バラマ＼ク)

偏る(カタヨ＼ル)

2人(フタリ＼)

不等式(フト＼ーシキ)

出来上がる(デキアガルー)

行う(オコナウー)

置く(オクー)

数える(カゾエ＼ル)

気づく(キヅ＼ク)

選ぶ(エラ＼ブ)