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【高校情報共通テスト対策／学習塾／個別指導】モンテカルロ法（円周率）、確率的・確定的モデル、シミュレーション、物理・論理モデル／教科書完全準拠授業動画

2021-11-20 22:10:10 | 日記

【高校情報Ⅰ参考書・共通テスト】モンテカルロ法（円周率）、確率的・確定的モデル、シミュレーション、物理・論理モデル／教科書完全準拠授業動画

高校情報１　教科書・参考書・問題集・プログラミング・共通テスト

高等学校　情報Ⅰ（情報１）の動画教科書・参考書・問題集です。授業・プログラミング対策/定期試験対策に利用可能！大学入学共通テスト「情報１」対...

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PDFの他、パワーポイント、学習指導案等の原本も無料提供しています。

情報教育の底上げが目的なので、資料を修正して、学校・塾（営利目的含む）の授業等で利用して頂いて問題ありません。私への連絡不要ですが、利用する際には、YouTubeチャンネル・情報Ⅰ動画教科書・IT用語動画辞典を紹介してもらえると嬉しいです。

■PowerPoint資料
https://toppakou.com/info1/download/29_モデル化とシミュレーション/29_モデル化とシミュレーション.pptx

■Excel資料
https://toppakou.com/info1/download/29_モデル化とシミュレーション/29_モデル化とシミュレーション.xlsx

■簡易学習指導案
https://toppakou.com/info1/download/29_モデル化とシミュレーション/【学習指導案】29_モデル化とシミュレーション.docx

【文字おこし】

今回は様々なモデルの種類、モンテカルロ法、シミュレーションについて説明していきます。

事物や現象の本質的な形状や法則性を抽象化して，より単純化したものを「モデル」といいます。
そして、事物や現象のモデルを作ることをモデル化といいます。

このモデルを使って、実際には行う事が困難な実験を計算だけで行なったり，複雑
な現象を再現したりするための手段としても活用できたりします。

また、このような問題解決の結果を予測するために同様の条件で模擬動作させてみることをシミュレーションと言います。

モデルにはいくつも種類があります。
今回は代表的なものについて説明していきます。

■物理モデルと論理モデル
物理モデルと論理モデルについて説明していきます。
物理モデルは　実物を模したモデルのことです。
　物理モデルの中でも何種類かあり、例えば、モデルルームの様な実物と同じ形をした実物モデル、　実際より小さく作られたミニカーなどの縮尺モデル、　逆に実際より大きく作成された分子模型などの拡大モデルなどがあります。

論理モデルは　現象や手続きなどを表現したモデルになります。
　論理モデルの中でも何種類かあり、例えば、減少や法則などを数学的に表した数式モデル、
　バスや列車の路線図やトーナメント表などの図的モデルなどがあります。

■静的モデルと動的モデル
次に、静的モデルと動的モデルについて説明していきます。
静的モデルは　時間の経過が他の要素に影響を与えないモデルになります。
　たとえば、　円の半径が分かれば半径の２乗×円周率で円の面積が求められますが、その円の半径と面積の関係などがあげられます。

動的モデルは　時間の経過が他の要素に影響を与えるモデルのことで、
確定的モデルと確率的モデルに分けられます。

■確定的モデルと確率的モデル
確定的モデルは、変動する要素がなく、結果が一つに定まるモデルになります。

たとえば、時速６０キロの車が常に同じ速度で走り続けた場合、１時間で６０キロメートル　２時間で１２０キロメートル、３時間で１８０キロメートルと時間と移動距離が予測できます。

確率的モデルは、変動する要素があり結果が１つにならないモデルになります。
たとえばサイコロを振って出る目はランダムな値になります。
この確率的モデルの中で、ランダムな数である乱数を用いて問題解決する手法にモンテカルロ法があります。

■モンテカルロ法
モンテカルロ法の特徴は対象のモデルに乱数を大量に生成して入力し，近似解を得ようとする手法になります。

分かりずらいと思うので、円周率の例で説明していきます。

まず、円周率は円の直径に対する円周の長さの比率のことになります。
そして、円の面積は　円周率×半径の２乗　になります。
公式で表すと円の面積をS　半径をｒ　円周率をπとした場合
Ｓ＝πｒ２乗になります。

なので、半径を１とした場合　π×１×１＝πとなり。
円周率と円の面積とがイコールになります。

円の中心をX軸　Y軸共に０とした場合
円の上の部分は　Xは０　Yは１　円の右側は　Xは１　Yは０となります。
右斜め上はXは１　Yも１　となります。

その４点を結ぶと、長さが１の正方形が描けます。

つぎに、その正方形の中にランダムに点を打っていきます。
通常はもっと多くの点を打ちますが、分かりやすくするために２０個ランダムに点を打ちます。

その打った点について、円の内部に存在する点を数えます。

今回は２０個のうち　１５個が円の内側に入ったとします。

正方形の面積は１×１で１になります。

その面積に対して、均等に点が打たれたとした場合、
円の面積は　２０分の１５で表されます。

つまり、正方形全体に対する、円の内部の点の割合を円の面積として考えるという意味になります。

今回は円全体に対する面積の４分の１の面積を求めました。
つまり、これを４倍すれば円全体の面積となります。

そして、はじめに話したように、半径１の円の面積が円周率と一致するので
今回の場合は
２０分の１５　×４　が円周率となります。

このランダムに打たれる点の数を増やすほど、精度が上がり、皆が知っている３．１４１５の円周率に近づいていきます。

点が円の内部にあるかどうかは、置いた点のｘとｙの座標を確認して
ｘの２乗プラスｙの２乗の値が１より小さければ、円の内側に点があります。
つまりｘの２乗プラスｙの２乗が１の場合は点が円周上に位置しているということになります。

★確定的モデルのシミュレーション

確定的モデルの簡単なシミュレーションをエクセルを使って行っていきます。

お風呂に水を入れるときに、水を入れた時間と湯船にたまる水の量の関係を表すモデルを作成していきます。

１分当たりに何リットルの水が溜まるかの　水の流入速度
何分ごとに水量を取得するかの　時間間隔　は任意の値を入力できるようにします。

シミュレーションの表は
経過時間と水量の列があり初めの行は０とします。
次の経過時間は時間間隔によって変わってくるので、前のセルの値と時間間隔を合算します。オートフィルを使って数式を下にコピーできるようにするためには、時間間隔の行はずらしたらいけないので、時間間隔の行番号の前にドルマークを付けて絶対参照にします。
オートフィルを使って下に数式をコピーします。時間間隔のセルの値を変更すると、経過時間の間隔も変更されます。

次の水量は経過時間と流入速度に比例するのでそれを掛け合わせます。

これも数式を下にコピーできるようにするために、流入速度の行をずらさないように、流入速度の行番号の前にドルマークを付けて絶対参照にします。
オートフィルを使って下に数式をコピーします。流入速度のセルの値を変更すると、水量の値も変更されます。

今日のモデル化とシミュレーションの授業は以上になります。
最後までご視聴ありがとうございました。

【解説重要用語】

モデル化、シミュレーション、物理モデル、実物モデル、縮尺モデル、拡大モデル、論理モデル、数式モデル、図的モデル、静的モデル、動的モデル、確定的モデル、確率的モデル、円周率、モンテカルロ法

★私の目標
「とある男が授業をしてみた」の葉一さん
https://www.youtube.com/user/toaruotokohaichi
※Google社に招待頂いた、「YouTube教育クリエイターサミット2020」で
　葉一さんと文部科学省・Google役員の対談セッションに感銘を受けて、高校情報講座スタートしています。

【参考サイト・参考文献】
路線・駅の情報 | 東京メトロ (tokyometro.jp)　：路線図転載
https://www.tokyometro.jp/station/

文部科学省　「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm

詳細（情Ｉ703　高校情報Ｉ Python）｜情報｜高等学校　教科書・副教材｜実教出版 (jikkyo.co.jp)　検定通過版
https://www.jikkyo.co.jp/book/detail/22023322

令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」｜高等学校情報｜日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
https://www.nichibun-g.co.jp/textbooks/joho/2022_joho01_1/textbook/

【高校情報共通テスト対策／学習塾／個別指導】区間推定・χ２乗検定（カイ二乗検定）・クロス集計・９５％信頼区間教科書準拠

2021-11-20 22:09:09 | 日記

【高校情報Ⅰ学習塾・共通テスト】区間推定・χ２乗検定（カイ二乗検定）・クロス集計・９５％信頼区間教科書準拠

高校情報１　教科書・参考書・問題集・プログラミング・共通テスト

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■PowerPoint資料
https://toppakou.com/info1/download/28ADVANCE区間推定とクロス集計/28ADVANCE区間推定とクロス集計.pptx

■Excel資料
https://toppakou.com/info1/download/28ADVANCE区間推定とクロス集計/28ADVANCE区間推定とクロス集計.xlsx

■簡易学習指導案
https://toppakou.com/info1/download/28ADVANCE区間推定とクロス集計/【学習指導案】28ADVANCE区間推定とクロス集計.docx

【文字おこし】

今回は、区間推定、クロス集計、χ（かい）二乗検定について説明していきます。
事前知識として、以前動画解説した母集団と標本とZ検定、ｔ検定についての知識が必要になります。

知識習得が未だの方は概要欄に貼ってあるURLから先に確認頂けると幸いです。

以前、母集団と標本の説明の中で　１０万個のどらやきの母集団の中から、１００個のどら焼きを無作為に抽出する話をしました。

無作為に抽出しても、母平均と標本平均には誤差が発生する可能性があります。
また、１回目の抽出は平均１０１ｇ　２回目は９９ｇと言ったように標本内でも取得するたびに差が出る可能性があります。

標本をもとにして調査し確率的に母集団がどのような値を持っているかを推測することを、推定と言います。
テキスト的な表現だと、「標本における一定の法則を母集団に当てはめて推し量る」ことを推定といいます。
推定には、母平均μ＝１００と言ったように１点で表す　点推定や
９５≦μ≦105　と言ったように推定値に一定の幅を持たせる区間推定があります。

今回は区間推定について掘り下げて説明していきます。

先ほど、標本平均にも誤差が発生すると話しましたが、何度も母集団から抽出しその平均値の発生頻度を調べると標本平均も正規分布となります。

区間推定では、この正規分布の９５％に属する範囲は高い確率で信頼できるとして、その範囲を９５％信頼区間と言います。

Z値になおすと、両端２．５％の位置は１．９６でそれを基準に内側に属する区間になります。

具体的な数式で説明します。
母分散が分かっている場合と分かっていない場合で分かれます。

数式だけだと分かりずらいと思うので具体的な数値を当てはめながら練習問題を解いて行きましょう。
――
★練習問題
母集団の母分散は２５．０ということが分かっている。
この母集団から１００個を標本として無作為に抽出したところ、標本平均は８．６０であった。
母平均μの９５％信頼区間を求めてください。

★パワポ参照

つぎはクロス集計とΧ（かい）２乗検定について説明していきます。

とある高校の１年生と２年生を対象に、学校の校則変更に賛成か反対かのアンケートを取った結果です。
この高校では１年生が２２０人　２年生が１８０人です。
１年生で賛成は１７５人　反対は４５人
２年生で賛成は１２５人　反対は５５人　でした。

賛成の合計は３００人　反対の合計は１００人になります。
　　１年生と２年生の合計人数は４００人になります。

この表をクロス表と言い、このような集計作業をクロス集計と言います。

この結果から　１年生と２年生の回答に有意な差があるといえるかを調べる仮説検定方法にカイ２乗検定があります。χの記号はエックスのように見えますが、χ　かい　と読みます。パソコンで　かい　と入力しても候補として出てきます。

仮説検定なので帰無仮説と立証したい対立仮説が必要になります。

帰無仮説は、１年生と２年生で有意な差は無い
対立仮説は　１年生と２年生で有意な差がある　とします。

χ二乗検定を行う上で期待度数という知識が必要になってきます。

期待度数は、アンケート結果の合計が分かっている状態で、全体の割合から考えて期待される数になります。

たとえば１年生で賛成の人の期待度数は　賛成の合計３００×１年生の合計人数２２０÷全体人数の４００　を計算すると１６５になります。
１年生で反対の人の期待度数は　反対の合計１００×１年生の合計人数２２０÷全体人数の４００　を計算すると５５になります。
２年生も同様に計算すると１３５と４５になります。

χ２乗検定のχ２乗値は　（実測度数―期待度数）　の２乗　÷　期待度数　の値を合計になります。

この式からわかることは・・
• 期待度数と観測度数が完全に一致すれば、χ２乗値はゼロになる
• 逆に、不一致（ずれ）が大きくなれば、χ２乗値は大きな値になる

期待度数に実測度数がどの程度一致しているか調べる検定を適合度検定と言い
　χ二乗検定も適合度検定の１つになります。

１年生の賛成のセルについては　（１７５―１６５）の２乗　÷　１６５の式で計算すると、小数第５位を四捨五入して０．６０６０　となります。

他のセルも同様に計算していき　値を合計したχ２乗値は　5.3869となります。

ここで求めたχ２乗値が今までのｔ値やＺ値に相当するものと思ってください。
有意水準５％のχ２乗分布表はこちらになります。

ここの自由度について説明していきます。
自由度は自由に決められるあたいの数ことで
たとえばこのクロス集計表で合計が既に決まっている状態の表の場合、１つのセルに値を入れると他のセルの値はきまります。
左上に２００をいれると　その右側は合計の２２０―２００で２０となります。
下がわは３００―２００で１００となります。そのとなりは１８０―１００で８０となります。
なので自由に決められる値は１つだけで自由度は１になります。
セルの数が増えるほど自由度は増えますが
（行数―１）×（列数―１）　で簡単に求めることができます。
今回は行数は２　列数も２　なので　計算すると１になり　先ほど説明した数と一致しました。

今回は自由度１なのでχ二乗分布表では限界値は３．８４１となります。
今回求めたχ２乗値の５．３８６９は限界値を上回っているので、帰無仮説を棄却し、１年生と２年生で有意な差があるということになります。

――
今話した計算はエクセルを使って簡単に実施することが可能です
まず右上の期待度数は賛成の合計×１年生の合計／全体合計　で各セルを指定します。
オートフィルを使ってコピーできるようにドルマークを付けて絶対参照にしていきましょう。
賛成の合計は、行は固定なので行の前にドルマークを付けます。
F4キーを何度か押してドルマークの位置を変更できます。
学年の合計は列は固定なので、列の前にドルマークを付けます。
全体合計は列も行も固定なので、すべてにドルマークを付けます。
オートフィルを使ってコピーすると期待度数がすべて埋められました。

次にｐ値を求めていきます。
この結果になる確率になります。これはＣＨＩＴＥＳＴ（カイテスト）関数を使います。
第一引数に実測度数を範囲指定します。
第二引数に期待度数を範囲指定します。
Ｐ値が算出されました。約２％の確率で起こる結果になります。
次にχ２乗値を求めます。これはＣＨＩＩＮＶ（カイ・インバース）関数を使います。
第一引数に先ほど求めたｐ値、第二引数に自由度をしていすると、χ２乗値が算出されます。

今日の区間推定、クロス集計、χ２乗検定の説明は以上になります。
最後までご視聴ありがとうございました。

【解説重要用語】

区間推定、９５％信頼区間、クロス集計、クロス表、χ二乗検定（カイにじょうけんてい）、期待度数、実測度数、χ二乗値、適合度検定、χ二乗分布表、χ二乗検定の自由度、

【参考サイト・参考文献】
数学嫌いのための社会統計学〔第2版〕
https://www.amazon.co.jp/s?k=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AB%8C%E3%81%84&ref=nb_sb_noss
※佛教大学　情報科教員養成　基礎統計学のテキスト

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 - YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCqmWJJolqAgjIdLqK3zD1QQ

文部科学省　「情報Ⅰ」教員研修用教材
https://www.mext.go.jp/a_menu/shotou/zyouhou/detail/1416756.htm

詳細（情Ｉ703　高校情報Ｉ Python）｜情報｜高等学校　教科書・副教材｜実教出版 (jikkyo.co.jp)　検定通過版
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令和4年度新版教科書「情報Ⅰ」｜高等学校情報｜日本文教出版 (nichibun-g.co.jp)検定通過版
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#区間推定 #高校情報 #統計学

【高校情報共通テスト対策／学習塾／個別指導】相関係数（共分散・偏差積和・最小二乗法）・回帰直線・散布図・時系列分析（移動平均法）についての授業【高校情報Ⅰ大学入学共通テスト】教科書準拠問題集

2021-11-20 22:08:08 | 日記

相関係数（共分散・偏差積和・最小二乗法）・回帰直線・散布図・時系列分析（移動平均法）についての授業【高校情報Ⅰ大学入学共通テスト】教科書準拠問題集

高校情報１　教科書・参考書・問題集・プログラミング・共通テスト

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■PowerPoint資料
https://toppakou.com/info1/download/28_時系列分析と回帰分析/28_時系列分析と回帰分析.pptx

■Excel資料
https://toppakou.com/info1/download/28_時系列分析と回帰分析/28_時系列分析と回帰分析.xlsx

■簡易学習指導案
https://toppakou.com/info1/download/28_時系列分析と回帰分析/【学習指導案】28_時系列分析と回帰分析.docx

【文字おこし】

今回は、回帰分析関連の散布図、相関係数、回帰式、最小二乗法そして時系列分析について説明していきます。

これはとあるクラスの情報と数学の試験の点数を情報の点数が低い順に並び替えた表です。
表を見ると何となく、情報の点数が低い人は数学の点数も低い
逆に情報の点数が高い人は数学の点数も高い傾向がある感じがします。
しかし、Dさんのように情報の点数が高くても数学がそれほど高くない場合もあります。

視覚的にその関係性が判断できる散布図というグラフがあります。

横軸Xを情報の点数とします。縦軸Yを数学の点数とします。

情報が５５点　数学が５７点のAさんは、この位置に点を描きます。
同じように他の人も点を打っていきます。

点が右肩上がりになっていることが分かります。

この散布図が右肩上がりの場合は、情報の点数が高ければ数学も点数が高いという、正の関連があります。これを正の相関といいます。
一方散布図が右肩下がりの場合、具体的には情報の点数が高ければ数学の点数は低いという負の関連があります。これを負の相関といいます。

関連には強弱があります。関連が強いほど散布図の点が線上になっていきます。
関連が弱い、又は関連が無いほど散布図の点はまばらになっていきます。

この点数や身長、体重の様な、人や集団によって異なる能力や性質のことを変数と言います。
散布図は教科書的な説明では、二つの連続変数の関連性をグラフで示したものになります。
点の散らばり具合で、２変数の関連性を視覚的に把握するために用いられます。

相関が強い場合は散布図は視覚的に相関関係が分かりやすいですが、例えばこの図の場合、右肩上がりのようには見えますが、相関が無いものと大きな違いが見いだせない人もいる可能性もあります。

そこで散布図での関連性を具体的な数値で判断できるものとして、相関係数というものが使われます。

相関係数はふたつの連続変数の直線的関連性の強さと方向性を示す数値のことになります。

今回の情報の点数を変数X、数学の点数を変数Yとすると、
相関係数はｒXYと表し、―１から＋１までの値をとります。
相関係数ｒｘｙ＝１は　完全な正の相関で、右肩上がり一直線上に並びます。
そして相関係数ｒｘｙ＝―１は完全な負の相関で　右肩下がりの一直線上にならびます。
相関係数ｒｘｙ＝０は無相関になります。

０に近づくほど、散布図からは相関関係が読み取りずらくなってきます。

――
相関関係の強さの世間相場は比較対象などによって違いがあります。
一つの目安として、プラスマイナス０．７を上回れば　比較的強い相関と言われることがあります。
プラスマイナス０．４～０．７までは中程度の相関　それ以下は、弱い相関で散布図上では相関を読み取るのは難しくなります。

今話した目安を示すのが難しい理由について、例えば、心理系の研究が扱う個々人のデータは一般的にあまり強い相関は観察されないことから＋－０．４～＋―０．７の相関でも強いと評価できることが多いです。
しかし、地域別の集計データや理科系の実験データは比較的高い相関が観測されることから＋－０．４～＋―０．７でも弱いと判断されることがあります
このような理由で、相関関係の強さの世間相場は比較対象などによって差が出てきます。

―――
　
今説明した相関係数をどのように求めるか説明していきます。
計算はいくつかの工程が必要で若干ややこしいので、別にエクセルを使って導き出す方法も後ほど説明します。
先に、計算過程の概要を実際に数値を当てはめながら説明していきます。

大きく３つのステップに分かれます。
STEP1は　偏差積和の計算
STEP2は共分散の計算
STEP3は　共分散を標準偏差の積で割り相関係数を求める
という流れです。

サンプルデータとして正の相関がある、情報と数学のテストの結果５人分を使います。
簡単にするため敢えて人数は少なくしています。

まず偏差積和の計算を行います。
偏差は値と平均点との差になります。

情報の平均点は７２点なので、Aさんの情報の偏差は５５－７２　でー１７になります。
数学の平均点は７３点なので、Aさんの数学の偏差は５７－７３でー１６になります。
それぞれの人の情報と数学の偏差を求めます。

次に各個人の求めた情報と数学偏差を掛け合わせます。
たとえばAさんの場合は-17×-16で272となります。

次にその求めた偏差の積を全て足し合わせると６８６になります。
これが偏差積和になります。

―――

次に共分散の計算を行います。
共分散の計算は簡単で先ほど求めた、情報と数学の偏差積和をデータの個数で割ってあげます。
偏差積和の特性上、データの個数が増すと、関連の強さとは無関係に絶対値が大きくなります。
そのため、データの個数で割って調整をします。
この値を共分散と言います。

データ個数は情報と数学を１セットとして考えてください。
今回は　データ個数は５なので　５分の　偏差積和　６８６　で
計算結果は１３７．２となります。

纏めると共分散は偏差積和をN　つまりデータの個数で割ったものになります。。
そしてこの共分散は相関係数の計算や後ほど説明する回帰分析で使われる値になります。

――
次に求めた共分散をもとにして相関係数を求めます。

共分散は、測定する単位によって値が大きく変わってきてしまうデメリットがあります。
たとえば今は１００点満点のテストの話で進めていますが、テストが１０点満点だと値が小さくなります。逆に２００点満点のテストだと値が大きくなり、お互いの相関を比べることは困難になります。

そこで、先ほど話したー１から１までの共通の尺度である相関係数にしていきます。

相関係数は情報と数学それぞれの標準偏差が必要になります。
以前説明した方法で標準偏差を求めると
情報の標準偏差　は１３．４
数学の標準偏差　は１１．８　になります。

情報の標準偏差×数学の標準偏差　分の　先ほど求めた共分散　で相関係数を求めることができます。

計算すると０．８７になり　これが相関係数になります。

★★エクセル解説
共分散や相関係数はExcel関数で簡単に求めることができます。
共分散はCOVARIANCE.P(コバリアンスドット　ピー)関数を使用します。
第一引数に情報の点数を範囲指定します。
第二引数に数学の点数を範囲指定します。
先ほど地道に計算した共分散が算出されました。

相関係数は、CORREL(コリレーション・コエフィシェント)関数を利用します。
第一引数に情報の点数を範囲指定します。
第二引数に数学の点数を範囲指定します。
先ほど地道に計算した相関係数が算出されました。

―――

今説明した散布図の点の分布を貫く一本の直線を実際に描き、それを表現する数式を求めれば、一方の変数の値から他方の変数値を予想することが可能になります。
たとえば、数学と情報の試験結果に強い相関がある場合　数学が５０点の場合　情報が何点かということがある程度予想可能になります。

この散布図の点の分布をつらぬく直線を回帰直線と言います。そして回帰直線を表現する数式を回帰式と呼びます。
また、Xの値でYの値を予測する場合。
Xを独立変数。　Yを従属変数と呼びます。

回帰直線の数式は一般的に　Y＝aX+bという形になります。
aは回帰係数といい、回帰直線の傾きを意味します。
bは切片といい、Xが０の時のYの値を意味します。

では、回帰直線はどのように描けばよいでしょうか。
自由に直線引いたら人によって変わってしまう可能性があります。
回帰直線は一定のルールが決まっており、最も一般的なルールは最小二乗法になります。
この図のように、上手く回帰直線を引いても、各点と回帰直線との間にはズレが出てきます。
最小２乗法は、回帰直線を各点とのＹ軸方向のずれがトータルで最も小さくなるように描く手法になります。
教科書的な表現では、誤差の２乗を合計した値が最小になるように回帰式のaとbを求めることになります。
２乗する理由は＋と－を合計すると相殺されてしまうため、それを防ぐためにプラスの値で出るように２乗しています。

先ほど共分散を求めた情報と数学の５人の試験結果の回帰直線式を求めていきます。

手順は３ステップで
Ｓｔｅｐ１は回帰係数aを求める
Ｓｔｅｐ２は切片bをもとめて回帰式を完成させる
Ｓｔｅｐ３は回帰直線を描くことです。

それぞれについて説明していきます。

まず回帰係数aは　独立変数Ｘの分散　分の　独立変数Ｘと従属変数Ｙの共分散　になります。
つまり、情報の分散　分の　先ほど求めた情報と数学の共分散になります。

これに当てはめると　０.７６３９となります。

そして切片bは従属変数Ｙの数学の平均値　―　（先ほど求めた）回帰係数a×独立変数Ｘの情報の平均値になります。

数学の平均点は７３　―　回帰係数は０．７６３９　×　情報の平均点７２
を計算すると１７．９９９２となります。

求めた値を回帰式に当てはめると　
Y＝0.7639X+17.9992　となります。

これで回帰式が完成したので　後は任意の２点を決めてそれを定規で結べば回帰直線が出来上がります。

たとえば、Ｘが０のときはＹは17.9992　Ｘが５０の時はＹは５６．１９４２となり、それの点を結ぶと回帰直線が描けます。

★★エクセル解説
回帰直線はエクセルのグラフ機能で簡単に描くことができます。
まずは散布図は情報と数学の点数を範囲指定し、グラフの指定で散布図を選ぶと簡単にグラフが作成されます。

どれか１つの点の上で右クリックし、近似曲線の追加を選択します。
線形近似を選択し下の方にあるグラフに数式を表示するを選ぶと先ほどの回帰式が自動計算されて表示されます。
グラフにR2乗値を表示するにチェックして表示される値は回帰直線・回帰式の当てはまりの良さを０～１の数字で表したもので、決定係数といいます。高校情報の教科書ではここまでは言及していないので詳しい説明は割愛します。

―――

気温の変化のように　、時間と共に変動する量を時間順に並べたものを時系列データと言います。
この時系列データを分析することで、全体的な傾向を捉えたり、将来の動きを予測することができます。
時系列データの傾向を調べる方法として、細かな変動を取り除いて主な動きを明らかにするための平滑化などの方法があります。

一定時間範囲のデータの平均値をその範囲の代表値とする方法である、移動平均法について説明していきます。。

この表はある都市の２０００年から２０２０年の各年の平均気温です。

１年ごとなので折れ線グラフはギザギザしています。

５年間を１つの単位とする移動平均を求めていきます。
アベレージ関数を使って２０００年から２００４年の移動平均を求めます。
次に２００１年から２００５年の移動平均を求めます。
オートフィルを使うと５年単位の平均の範囲も１年ずつ移動してくれるので便利です。

求めた移動平均も含めて折れ線グラフで表示します。

線が滑らかになり、気温が上昇傾向にあることが分かりやすくなりました。

今回の授業は以上になります。最後までご視聴ありがとうございました。

【解説重要用語】

散布図、正の相関、負の相関、相関係数、偏差積和、共分散、回帰分析、回帰式、最小二乗法、時系列データ、移動平均法、時系列分析

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【高校情報Ⅰ学習塾・共通テスト】母集団と標本／仮説検定（Z検定とｔ検定）／帰無仮説・有意水準、自由度、ｔ分布、両側検定・片側検定について解説／統計学

2021-11-20 22:07:03 | 日記

【高校情報Ⅰ学習塾・共通テスト】母集団と標本／仮説検定（Z検定とｔ検定）／帰無仮説・有意水準、自由度、ｔ分布、両側検定・片側検定について解説／統計学

高校情報１　教科書・参考書・問題集・プログラミング・共通テスト

【資料ダウンロード】

PDFの他、パワーポイント、学習指導案等の原本も無料提供しています。

■PowerPoint資料
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■簡易学習指導案
https://toppakou.com/info1/download/27_ADVANCE_母集団と標本・仮説検定/【学習指導案】27A_02_母集団と標本／仮説検定.docx

【文字おこし】

今回は、高校情報科目で習う統計学の母集団と標本、推定と検定の概要、Z検定、t検定について説明します。

はじめに母集団と標本について、身近な例と紐づけながら説明していきます。
とある和菓子工場ではどら焼きを１日１０万個つくっています。
通常、どら焼きの重さの平均は１００グラムとしています。

本当に平均１００グラムかを知るためには１０万個ぜんぶの重さをはかることですが、現実的ではありません。
そこで、全部の中から無作為に抽出した一定個数の重さを図って、全体を知る手法が用いられます。

具体的な例を統計学の用語と照らし合わせながら説明していきます。
１日に製造するどら焼き１０万個が全量として、その調査や観察の対象とする集団全体のことを母集団と言います。
どら焼きの重さのあるべき姿は平均１００グラムです。
平均なので、９９グラムの物もあれば、１０１グラムの物もあります。
以前説明したように、世の中の自然現象や社会現象の多くは正規分布となります。
中央の値の発生頻度が最も多く、それを中心に左右対称で発生頻度が少なくなる分布を正規分布と言います。
今回のどら焼きの重さも正規分布になるとします。
左右対称なので中央の一番高い山が平均値となり今回のあるべき姿の場合は１００グラムとなります。
この母集団の中の平均値を母平均と言い　μミューという記号で表します。
この集団の散らばり具合は、以前説明したように分散や標準偏差であらわします。
母集団の標準偏差はσ（シグマ）という記号で表します。そして母集団の分散は母分散と言い標準偏差の２乗つまりσ（シグマ）の２乗で表すことができます。

１０万個のどらやきのおもさを全て図って平均が１００グラムになるか、それとも機器の故障の影響でそうではないかを調べるためには１０万個すべての重さを調べるのは現実的ではありません。
なのでこの母集団から一定数のどら焼きを抽出してその重さの平均をはかることにします。
その抽出する場合には、無作為に抽出することが重要です。
例えば、９９という数字が好きだから９９グラムのどら焼きだけ抽出するのはNGです。

中心当たりのどらやきが最も多いので、無作為に抽出すると、確率的に１００グラム前後のどら焼きが抽出できる可能性が高くなってきます。

今回は１０万個の母集団のなかから無作為に１００個のどら焼きをとってきたとします。
この抽出された集団を標本と言い、１組の標本中のデータ数をサンプル数と言いい、ｎで表します。
標本も母集団と同様に正規分布になり、標本の平均を標本平均といい、エックスバーの記号で表します、標本の標準偏差はsの記号であらわし、分散はsの２乗となります。

サンプル数が母集団の数に近づくほど、母集団の平均や分散に近くなっていきますが、全量調査しているわけではないので、母集団と誤差が生じます。
また、おなじ１００個でも１回目で抽出した標本データと、２回目に抽出した標本データの間でも誤差が生じる可能性があります。

――――――――――

多くの場合、母集団の平均値や分散が分かりません。
標本をもとにして調査し確率的に母集団がどのような値を持っているかを推測することを、推定と言います。
テキスト的な表現だと、「標本における一定の法則を母集団に当てはめて推し量る」ことを推定といいます。
推定には、母平均μ＝１００と言ったように１点で表す　点推定や
９５≦μ≦105　と言ったように推定値に一定の幅を持たせる区間推定があります。

――――

標本のデータから、母集団にかんする仮説の真偽を判定する方法のことを仮説検定と言います。

簡単な例で説明していきます。本来数十万とか大きい数ですが簡単にするために、あえて少ない数で説明します。

人口１０万人のミライ王国で２００人を無作為に選んだところ、女性が１３０人、男性が７０であった。
この標本データからだけ言える事実は「ミライ王国では女性の方が多い」ということです。
ただ、母集団を調べているわけではないので、これは仮説になります。
この仮説に対する反論として、「ミライ王国の男女比は半々のはず。たまたま、女性の方が多く取れただけ。女性が多いのは偶然のいたずらです」という意見がでたとします。
この女性が多いという立証したい仮説を対立仮説といいます。
それに対立する、男女比は半々という意見を帰無仮説と言います。

仮説検定では、「帰無仮説」の方が正しいという前提に立ちます。
つまり男女比が半々という仮説を正として、今回のように２００人抽出して１３０人以上が女性になるという偏った結果になるのはどれくらいの確率で起こり得るのかを計算します。
この確率のことをp値といいます。ｐ値０．０５と言ったら百分率で表すと５％の確率という意味になります。

統計学の世界ではこのＰ値が５％未満だった場合は、めったに起こらないことが起きたとして、対立仮説が正しいと判断します。逆に言えば帰無仮説は正しくないということになります。このことを帰無仮説を棄却すると言います。
このめったに起こらないことを有意性があるともいいます。
この帰無仮説を棄却する５％未満の基準を有意水準といいます。医療問題など慎重な判断が必要な場合は有意水準１％が使われることもあります。

かりに有意水準が５％を上回った場合は、帰無仮説を棄却せず、女性の方が多いという仮説を採択しない流れになります。

頭が混乱していると思うので、ヒストグラムのイメージ図使って説明していきます。
縦軸を確率、横軸を女性の人数とします。
男女比半々という帰無仮説を正しい前提とするので、ヒストグラムの平均つまり最も盛り上がっている部分も全体の半分の１００人とします。
全体の面積の５％未満がこの部分で、この境目にあたる女性の人数を限界値と言います。
そして有意水準の領域にある女性人数125人より多い領域を棄却域といいます。

つまり、限界値である125人より多ければ有意水準の５％未満の領域なので、男女比半々という帰無仮説は棄却されます。

今回は有意水準を右の片側５％を基準にしましたが、これを片側検定といいます。
いまは、女性が多いことを実証しましが、
仮に男女比がアンバランスという仮説を検証する場合は、女性が多い場合と男性が多い場合が考えられるので両側に設定する必要があります。
この場合は５％を左右で按分して、２．５％ずつ左右に棄却域を設けることになります。
これを両側検定といいます。

検定は何種類かありますが、母集団の正規分布に従っていて、
母平均と母分散が既に分かっている場合に使われる検定にＺ検定があります。
標本平均と母平均が統計的に見て等しいといえるか検定する方法になります。

標本平均に対するＺ値を求めて、それが標準正規分布のどこに位置するかで帰無仮説を棄却するか否かを決定します。

Z値は以前の動画で説明しましたが
あるデータｘが平均値μからどれだけ離れているかを、標準偏差σを単位として示した値のことになります。

★例題
今のZ検定は、母分散が分かっていましたが、母分散が分からない場合はt検定というものを使います。サンプル数が３０未満と少ない標本の場合に使われます。
母集団から抽出した標本平均の分布は正規分布に似た釣り鐘型になります。
この分布をｔ分布と言います。
これを聞いてＺ値を思い出した方も多いと思います。
標準正規分布のＺ値に相当する統計量がｔ値になります。ただしｔ値、―４～４の範囲より広くなります。

ｔ値を求める上で、母分散の推定値である不偏分散を求める必要があります。
さきに自由度という言葉を説明します。
自由度は、自由に決められる数のことです。
たとえば平均値が既に決まっていた場合で４つの値を入力できる欄があったとします。
平均１０とすると　１つめ８、二つ目１１、３つめ１０とした場合、平均１０にするためには、４つめは１１にしなければいけません。
この場合、４つのうち３つ自由に決められるので、自由度は３となります。
サンプル数がｎとした場合、自由度はｎ―１で表されます。

今までの知識で、分散を求めるには
データ数分の平均との差の２二乗を足し合わせたものであらわしました。

不偏分散を求める式の分母は　サンプル数マイナス１をします。

標本の特性上、元となった母集団の母分散に比べて分散が小さくなる傾向があります。
サンプル数マイナス１をして分母を小さくすれば、得られる値は大きくなります。
サンプル数ｎ―１をして、標本の分散である分散を母分散に近づけるという役割をします。

★ｔ値の公式パワポ

求めたt値が、全体の何パーセントに位置するかを調べるには自由度と有意水準で表される　t分布表と突き合わせを行います。
正確には仮説を成り立たせる確率である信頼度というものも存在します。今回は信頼度９５％の表になりますが、高校の情報の教科書にはそこまで言及していないので信頼度の詳しい説明は割愛します。
t分布表については、この後行う例題で具体的にどのように見るかを説明します。

それではｔ検定に関する、例題を解いて行きましょう。
★例題

ｔ検定は、２標本間の有意差を調べる場合にも用いられます。

私用で高校の説明会に何校か行きましたが、話題にでてくるのが、YouTube教育動画についてです。
予習は予備校講師のYouTube動画を使ってもらい、授業はそれが分かっている前提で対面でしかできない内容で行いますや
「先生がYouTuberやってます」とか生徒会長が自慢げに語っている学校もありました。

これは、公立高校の情報教諭のブログ記事ですが、

コロナの影響で授業動画をYouTubeにアップしてそれで勉強してもらったら、テストの平均点が大幅に伸びたという話題です。
いつもの感覚なら平均７０点前後のはずが、平均８５点くらいだったらしく、わからないところを何度も見直せるなどの利点があったためなどが考えられます。

このような効果の検証にも、ｔ検定は有効です。
立証したい仮説を　YouTube動画は成績アップに効果がある。
反対意見の帰無仮説は、　YouTube動画は成績アップに効果はない。平均点に差が出たのはたまたま　として
YouTube動画での学習を取り込んだクラスのテスト結果の標本と今まで通りの授業を行った標本からｔ値を求める方法が考えられます。
ｔ検定は何種類かあります。
対応のあるｔ検定と対応のないｔ検定
対応のあるとは、同じ人、同じ物と考えてください。
例として同じクラスの生徒が受験した２つの試験結果の比較などがあげられます。

一方、対応のないとは違う人、違う物と考えてください。
対象が同じでも、同じ分散を持つ標本と異なる分散を持つ標本でわかれます。
同じ分散を持つ標本の例として、Ａ組はYouTube動画で勉強を行った集団。B組はYouTube動画を使わずに勉強を行った集団として、同じテストを受験した２つのクラスを比較する検定が考えられます。

異なる分散を持つ標本の例としては
去年と今年の生徒が受験した異なる２つの試験結果を比較する検定が考えられます。

今日の授業は今まで大学で扱っていた統計学の一部が高校情報Ⅰの教科書にとりこまれていて、かなり難易度が高く感じたと思います。
統計学に関しては、さらに掘り下げた分かりやすいYouTube動画が沢山あるので興味があればさらに知識を深めていきましょう。

今日の授業は以上になります。最後までご視聴ありがとうございました。

【解説重要用語】

母集団、標本、母平均μ、母分散 σ2乗、標準偏差σ、正規分布、標本平均　Xバー、標本分差 sの２乗、サンプル数ｎ、サンプリング、点推定、区間推定、仮説検定、帰無仮説、帰無仮説を棄却する、対立仮説、ｐ値、有意水準、有意性、片側検定、両側検定、Z検定、自由度、ｔ分布表、不偏分散

【参考サイト・参考文献】
P値と帰無仮説について専門用語も数式も使わずにざっくりとしたイメージを説明してしまう動画 – YouTube
https://www.youtube.com/watch?v=y0g7OuJpTno

熊野コミチ統計とお仕事チャンネル – YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCxGR5omDLIXBu6yOrvOJ-2w

予備校のノリで学ぶ「大学の数学・物理」 - YouTube
https://www.youtube.com/channel/UCqmWJJolqAgjIdLqK3zD1QQ

都立高校情報科教諭ブログ
https://inagaki-shunsuke.jp/

数学嫌いのための社会統計学〔第2版〕
https://www.amazon.co.jp/s?k=%E7%B5%B1%E8%A8%88%E5%AD%A6+%E6%95%B0%E5%AD%A6%E5%AB%8C%E3%81%84&ref=nb_sb_noss
※佛教大学　情報科教員養成　基礎統計学のテキスト

文部科学省　「情報Ⅰ」教員研修用教材
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【高校情報共通テスト対策／学習塾／個別指導】二項分布と正規分布／ベルヌーイ試行／Z値・期待値／標準正規分布エクセルグラフ作成【高校情報１授業】

2021-11-20 22:05:59 | 日記

二項分布と正規分布／ベルヌーイ試行／Z値・期待値／標準正規分布エクセルグラフ作成【高校情報１授業・共通テスト対策】

高校情報１　教科書・参考書・問題集・プログラミング・共通テスト

【資料ダウンロード】

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■PowerPoint・エクセル資料
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■簡易学習指導案
https://toppakou.com/info1/download/27_ADVANCE_データの分布と検定の考え方/01_二項分布と正規分布/【学習指導案】27A_01_二項分布と正規分布.docx

【文字おこし】

今回は、統計関連の二項分布と正規分布について解説していきます。

前回の動画で説明した分散と標準偏差に関する事前知識が必要なので、知識の習得が未だの方は概要欄に貼ってある、分散と標準偏差に関する知識をみにつけてからこの動画を見てください。

まずは、二項分布について説明していきます。

世の中には２つの状態で表されるものが沢山ありますよね。

例えば、コインを投げた時に表が出るか、裏が出るか。
実験を行ったときに、成功するか、失敗するか。
６面体のサイコロにしても、１がでるか、それ以外が出るかと２つの状態に言い換えることもできます。

コインを投げた時に表が出るのは、普通に考えると２回に一回なので、確率は２分の１になります。

コインの表が出たら１点　裏なら０点として、４回投げて合計が１点　つまり表が１回だけ出る確率を求めていきましょう。

左側に分岐のパターン、右側には点数の合計の数　つまり合計の度数分布を表しています。

まず初めの１回目は　表と裏のパターンがあり裏なら０点　表なら１点となります

２回目について
一回目が裏のパターンから裏と表のパターンがあり裏なら１回目の点数も０なので０点、表なら１点となります。

１回目が表の場合も２回目は裏と表があります。
裏の場合は合計値は一回目１点＋２回目０点で１　
表の場合は、一回目１点　２回目１点で　２となります。

合計の度数の分布は、０点が１つ　１点が２つ　２点が１つとなります。

３回目も同様に分岐させて、表の場合は２回目までの合計に＋１点します。
　合計の度数の分布は、０点が１つ　１点が３つ　２点が３つと　３点が１つとなります。

４回目も同様に分岐させて、表の場合は３回目までの合計に＋１点します。
　合計の度数の分布は、０点が１つ　１点が４つ　２点が６つと　３点が４つ　すべてで表が出た４点は１つとなります。

つまり、コインを４回投げた時に表が1回だけ出るのは度数が１のパターンで１６分の４　を約分して四分の１の確率となります。

この確率はグラフ全体の度数の合計値に対する該当する範囲の度数の割合と同じになります。

試行結果が表か裏、成功か失敗、勝ちか負けか、１かそれ以外かのように2通りしかない試行をベルヌーイ試行といいます。

今回はこのベルヌーイ試行を４回行いましたが
ベルヌーイ試行を複数回行った場合で、ある事象が何回起こるかの確率分布を二項分布といいます。

今度は成功か失敗のパターンで確率を変えて考えていきます。

１回で成功する確率をｐとします。
そして、実験した回数（試行回数）をｎ回とします。
そして、実験で成功した回数をｋとします。

ｎ回試してk回成功する確率Ｐを求めていきます。

このkの値を色々変えていきながらグラフに表したものを二項分布と言います。

Ｐ（Ｘ=k）はk回成功した場合の確率という意味です。
それを求めていきます
ｎ回の内k回が成功のパターンで
成功の確率はpでそれをk回行うのでpのk乗となります。
逆に失敗の確率は、全体から成功の確率を引けばいいので１―ｐ　となります。
失敗の回数は試行回数ｎから成功の回数ｋを引いてあげればいいのでn-kとなります。

そしてｎ回のうちk回が成功するパターンは
例えば３回の内　1回が成功の例だと
成功　失敗　失敗
失敗　成功　失敗
失敗　失敗　成功　
の場合があります。

そのパターンの分も掛け合わせる必要があり、それはnＣkで表されます。

つまりパターン数×ｎ回の内k回の成功確率×ｎ回の内　失敗の確率　となります。

二項分布のグラフで表すと

縦軸を確率Ｐ（Ｘ=k）横軸を成功回数kとすると

試行回数ｎ回の内　成功回数のkが０の時の確率、ｋが１回の時の確率　kが２回の時の確率というようにｋを増やしていき　一番右側のパターンはn=kなので　すべて成功したパターンの確率となります。

※さっきのパターン
　一番初めに説明したコイン投げのパターンに当てはめてみましょう。
表が出る確率が２分の１なので０．５　試行回数４回で、　表が１回出る確率を公式に当てはめて求めると
　4C1×０．５の1乗　×（１－０．５）４－1乗となり
　
4 ×０．５×　０．１２５　＝０．２５　となり　先ほど図を書いて計算した結果と一致しました。

確率的に期待される期待値というものがあります。

例えば、この二項分布のグラフの場合、５が期待値で、最も確率が高いことが分かります。
期待値の求め方は公式があって　事象が起こる確率×試行回数で求められます。
例えば成功確率が３分の１　試行回数が３０回の場合は　３分の１×３０で１０回が期待値となります。

―――
二項分布のグラフは、試行回数を増やしていくとこのような左右対称の曲線に近づきます。
言い換えると、中央の値の発生頻度が最も多く、それを中心に左右対称で発生頻度が少なくなります。このような分布を正規分布と言います。

平均が０、分散が１　つまり標準偏差が１の正規分布を標準正規分布と言います。

平均が０というのはわかりずらいかもしれませんが
例えば１とー１の平均は０となります。

――
このグラフで囲まれた面積全体を１とすると、
横軸の値をＺとして、Ｚが０と１　の間の面積は　全体の３４．１３％を占めます。左右対称なので０とー１の間の面積も全体の３４．１３％となります。
範囲を広げて０～２の間の面積は、全体の４７.７２％を占めます。左右対称なので０とー２の間の面積も全体の４７.７２％となります。
つまり、―２～２の間で全体の９５．４４％の面積となります。

Ｚが４～―４の範囲は面積全体の１００％となります。

横軸をＺと言いましたが、あるデータｘが平均値(μミュー)からどれだけ離れているかを、標準偏差σ（シグマ）を単位として示した値を　Ｚ値　と言います。

Ｚ値の求め方は、標準偏差σ　分の　値ｘ　―　平均μ　で求めることができます。

正規分布表と比べながら、具体的な例でみていきましょう。

情報の試験を行ったときの平均点が５５点　標準偏差が１０の場合
６５点の生徒が上位何パーセントの位置にいるかを調べていきましょう。
この試験の得点は正規分布に従うものとする
まずＺ値は　標準偏差　１０　分の　生徒点数の６５―平均値の５５をすると１．０となります。
先ほどの標準正規分布の表では、この１から４の間の面積の割合は１５．８７％
なので、上位１５．８７％ということが分かります。

最後にエクセルを使って、標準正規分布のグラフを作成していきます。
Ｚをー４から４の範囲で０．１間隔とします。
はじめのー４とー３．９を入力した後は二つを範囲指定して、右下の黒■の上にマウスカーソルをあてて、下にドラックすれば簡単に４までの数字が自動入力されます。
Ｙ軸の確率の計算は、ノーマルスタンダードディストリビューション関数を使います。
ＮＯＲＭ．Ｓ．ＤＩＳＴの関数を選んで　第一引数にＺ値のセルを選びます。
第二引数をＦａｌｓｅにすると　値がＺの時の標準正規分布の値を算出してくれますので今回はＦａｌｓｅとします。
Ｔｒｕｅ　にすると値がＺ以下の範囲の標準正規分布の割合を出してくれます。
１行目について算出されたので、オートフィルを使って関数を下にコピーします。

個人的な感想ですが、
このノーマルスタンダードディストリビューション関数って名前物凄くかっこよくないですか？男性生徒は女子に標準正規分布グラフを教える機会があれば、
ノーマルスタンダードディストリビューション関数使えば簡単だよ　と言えば、モテモテかもしれません。

グラフにしたい範囲を範囲指定して、挿入からおすすめグラフで折れ線グラフを選べば、標準正規分布のグラフが描けます。

今日の二項分布と正規分布の授業は以上になります。
最後までご視聴ありがとうございました。

【解説重要用語】
オ二項分布、ベルヌーイ試行、正規分布、標準正規分布、期待値、Z値、正規分布（Excelグラフ）、NORM.S.DIST関数（ノーマル・スタンダード・ディストリビューション関数）

【参考サイト・参考文献】

参考サイト（YouTube動画）ソフトキャンパスＥｘｃｅｌ学校https://www.youtube.com/watch?v=a9uh9s3bQh4

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その他、情報処理技術者試験（全レベル１～４）／IT企業15年勤務（システム技術部部長）経験から培った知識を交えながら解説しています。

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#高校情報 #標準正規分布 #統計学

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