マナー違反

アウト判定をしたものを、相手側の応援者が「入っていたよ！」と大声でアピール。観客のマナー違反をコーチングとみなし、警告を与えられますか？

はい、テニスは自分で考えてプレーする競技なので、コーチングとみなされます。他にも「前、前」「振りぬけ！」「足を動かせ！」なども、選手に対しての指示にあたるので、コーチングです。
「一本！」や、「ナイスショット！」などは、応援。見る方も、選手に迷惑がかからないよう、マナーを守りましょう。