矛盾から生まれたゲーデル命題（それと定義の二重性と・・）

Ｇ＝「この命題は証明できない」
⇔
Ｇ「Ｇは証明できない」
⇔
Ｇ⇔￢Provable(Ｇ)
⇔
（￢Ｇ∨￢Provable(Ｇ)）∧（Provable(Ｇ)∨Ｇ）
⇔　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（￢Ｇ∨Ｇ）∧（￢Ｇ∨Ｇ）
⇔
Ｔ∧Ｔ
⇔
Ｔ

同じようにすれば、

￢Ｇ「Ｇは証明できる」
⇔
￢Ｇ⇔Provable(Ｇ)
⇔
（Ｇ∨Provable(Ｇ)）∧（￢Provable(Ｇ)∨￢Ｇ）＿＿＿＿＿＿ア）
⇔　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（Ｇ∨￢Ｇ）∧（Ｇ∨￢Ｇ）
⇔
Ｔ∧Ｔ
⇔
Ｔ
⇔
「￢Ｇをかように定義すること自体は全称であり否定されない」

ところが、ア）の次のところは、

⇒　　　　　　　　　　　　　　←イ）
（Ｇ∨Ｇ）∧（Ｇ∨￢Ｇ）
⇔
Ｇ∧Ｔ
⇔
Ｇ
⇔
「￢Ｇをかように定義するならばＧは証明できない」

こりゃ、驚いた！￢Ｇの定義、即、数学体系の無矛盾性だってえ～？

冷静になって点検すると、集合関係が根本的に間違っている・・。￢Ｇ「Ｇは証明できる」⇔Ｔであって、さらに￢Ｇ「Ｇは証明できる」⇒Ｇとは“あり得ない関係”を意味する。

やはりＧに対して￢Ｇの定義は不合理だったのだ

これらの“不合理な二重性の根源”は一重に￢Ｇの定義によるので、ここで仮に￢Ｇの定義を「この命題は証明できる」に変えてみると、

￢Ｇ＝「この命題は証明できる」
⇔
￢Ｇ「￢Ｇは証明できる」
⇔
￢Ｇ⇔Provable(￢Ｇ)
⇔
（Ｇ∨Provable(￢Ｇ)）∧（￢Provable(￢Ｇ)∨￢Ｇ）
⇔
（Ｇ∨￢Ｇ）∧（￢Provable(￢Ｇ)∨￢Ｇ）
⇔
Ｔ∧（￢Provable(￢Ｇ)∨￢Ｇ）
⇔
Ｇ⇒￢Probable(￢Ｇ)
⇔
「Ｇならば￢Ｇは証明できない」
⇔
「￢Ｇを証明できるのならば￢Ｇ」

こうなるとＧを再定義せねばならず、

Ｇ＝「この命題は証明できない」
⇔
Ｇ「Ｇは証明できない」
⇔
Ｇ⇔￢Provable(Ｇ)
⇔
（￢Ｇ∨￢Provable(Ｇ)）∧（Provable(Ｇ)∨Ｇ）
⇔　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（￢Ｇ∨Ｇ）∧（Provable(Ｇ)∨Ｇ）
⇔
Ｔ∧（Provable(Ｇ)∨Ｇ
⇔
￢Provable(Ｇ)⇒Ｇ
⇔
「Ｇが証明できないならばＧ」
⇔
「￢ＧならばＧを証明できる」

「￢Ｇを証明できるならば￢Ｇ」
と
「￢ＧならばＧを証明できる」
ゆえに
「￢Ｇを証明できるならばＧを証明できる」

すなわち
「この命題は証明できるが証明できるならばこの命題は証明できないも証明できる」

なんだかけったいな具合だが「否定命題に二重性が生じてしまうのがすべての原因」だと思う！