超現順序数ωは無量大数とほぼ同一であり有限であることの証明

　無限集合論において「すべての自然数の集合」をωとおいているがそれは矛盾している。

　このように定義するとωが無限の大きさを持つ順序数だということになるが、そうなると実数濃度はたやすく表記することができて２^ωである。ここにω^ωは真に２^ωより大きい。ゆえにω^ωは非可算であるはずだがこれは定義と矛盾する。ゆえにωは有限でなくてはならずすべての自然数の集合と定義することは誤りである。

　ωを「ωを使わずに表記されるすべての自然数の集合」と定義するとωは有限としても矛盾しない。

　理由は自然数の個々の大きさは高々有限であるからである。こうしてωを使わずに表記される自然数集合は延長可能な有限集合としての側面を持つことが明らかになった。さらに「ωを使わずに表記される」を標準的なと書き換えると内部集合論における無量大数とほぼ一致させることが可能。ゆえにωは有限であり、それを無限とする無限集合論は矛盾していることが判明した。


　ひょっとしてゲーデル命題のゲーデル数もまた有限だが非標準的な順序数ωなのではなかったか？