微分解析学のさまざまな計算について（２）

さて、お待ちかねの三角関数ですが、サインから順に行きましょうかね・・。

ｄsinｘ
＝
sin(ｘ＋ｄｘ)－sinｘ
＝
・
・
（あっと、これじゃ計算続行できない、あっ、そーか、う～ん！）

　じつは加法定理で展開したら初項に cosｄｘ－１ が出てきまして、かつてそれを →０ と置いて次へ行ってたんですが、これは全体をｄｘで割らなくてはいけないので勝手に消してはいけない、あ、こりゃ違うわｗ）

実際には半角公式を使えばうまく行くのでしたが、それは標準解析でも同じことです・・。

　しかし、怪我の功名と言いますか ｌｉｍ(x→0)｛（cosｘ－１）/ｘ｝＝（cosｄｘ－１）/ｄｘ→０ を得ることができました。同じように ｄ²sinｘ だかなんだかの計算で ｌｉｍ(x→0)｛（cosｘ－１）/ｘ²｝＝（cosｄｘ－１）/ｄｘ²→－１/２ が得られます。この二番目の結論は幾何的にといいますかグラフ的に意味がございまして、それは・・、いいや、これから後は箇条書きにいたしましょうｗ）

《定理》

・ｌｉｍ(x→0)｛（cosｘ－１）/ｘ｝＝（cosｄｘ－１）/ｄｘ→０

・ｌｉｍ(x→0)｛（cosｘ－１）/ｘ²｝＝（cosｄｘ－１）/ｄｘ²→－１/２

・関数 ｙ＝１－cosｘ の原点近傍は関数 ｙ＝ｘ²/２ で近似できる

　これらがけっこう意義深い、いや、これらは標準解析でも数学的センス一つで同様の結論をたたき出すことができます、大言壮語して申し訳ない、たははｗ）


ふつうの公式については各人で確かめておいてくださいね！