微分解析学のさまざまな計算について（１）

【微分解析学】独立変数ｘに対して従属変数がｙ＝ｆ（ｘ）のような関係であるとき次のように構成された微分解析学が成立する。

・独立変数の微分の定義　ｌｉｍ(x→0)ｘ＝ｄｘ（≠０）→０

・従属変数の微分の定義　ｄ^ｙ＝Σ(k=0からnまで)(-1)^k・nＣk・ｆ（ｘ＋(n-k)ｄｘ）

　ｎ＝１の場合　 ｄｙ＝ｆ（ｘ＋ｄｘ）－ｆ（ｘ）　
　ｎ＝２の場合　ｄ²ｙ＝ｆ（ｘ＋ｄｘ）＋ｆ（ｘ－ｄｘ）－２ｆ（ｘ）を代わりに使っていい（他の場合も便宜に）

そもそもｄｙとｄｘとをべつべつに計算して割り算をすれば微分商たる導関数ｄｙ/ｄｘが求められるだけで凄いのだが、微分解析学の真価はそれどころじゃあ～ございません、上の定義を一瞥すれば明らかであるようにｎ次導関数を一回の割り算で求められるのです。物は試しとして、ｙ＝２ｘ²＋３ｘ＋１の二階微分を求めてみましょうｗ）

ｄ²ｙ
＝
２（ｘ＋ｄｘ）²＋３（ｘ＋ｄｘ）＋１＋２（ｘ－ｄｘ）²＋３（ｘ－ｄｘ）＋１－２（２ｘ²＋３ｘ＋１）
＝
・
・
＝４ｄｘ²

ｄ²ｙ/ｄｘ²＝４ｄｘ²/ｄｘ²＝４→４　ゆえに ｙ”＝４

３次関数などは各人試してみてくださいね・・。

自然対数の底であるｅの定義なども ｅ＝（１＋ｄｔ）^1/dt として極めてエレガントに為されます、ですから ｙ＝ｅ^x の場合の導関数も、ｄｔは任意の無限小ですからｄｘと置いてよいことにするならば、

（注）微分解析学の微分量は「無限に小さい」という性質があるので有限量とは違います！

ｄｙ
＝
{（１＋ｄｘ）^1/dx}^(ｘ＋ｄｘ)－｛ あー、打つのがめんどくさいや、やっぱ各人で試してくださいね・・。

（計算のミソは ｅ^dx－１＝・・＝ｄｘ にあります）　結果、もちろん（ｅ^ｘ）’＝ｅ^ｘ なんですよｗ）



次回は三角関数