微分解析学による昔懐かしい計算について（１）

ｎ次多項式の二次導関数を求める際に使えることは自明ではないとしても当たり前ですけど、やってみます！

関数ｙ＝ｘ³について

ｄ²ｙ＝（ｘ＋ｄｘ）³－２ｘ³＋（ｘ－ｄｘ）³＝・・・＝６ｘｄｘ²

ｄ²ｙ／ｄｘ²＝６ｘ（これが求めるべき二次導関数であった）

検算をしますと、ｙ＝ｘ³のところ 微分公式（ｘ^n）’＝ｎｘ^(n-1) より ｙ’＝（ｘ³）’＝３ｘ² この計算をくり返して ｙ”＝（ｙ’）’＝（３ｘ²）’＝６ｘ（一致）

（これは一般式ｘ^nについて成立しておれば成立するので証明もたやすいが煩雑なので省略するｗ）

指数関数については（ｅ^x）’＝ｅ^xさえ言うことができたら要らないので、自然対数の底たる「ｅの定義」について後述します・・。

三角関数について、私の老眼と衰えた数学のテクニックでは手計算が厳しく、標準解析の結果を用いた方が早いばかりの（外挿してこじつけなければならない）箇所がございますけど、ようするに物理数学の一種として応用を心掛ける場合には不用なこだわりでありますので省略させていただきますとして、それよりも（応用数学？らしく）副産物として「コサイン関数の原点近傍はｙ＝１－ｘ²／２によって二次近似される」という結果が非常に速やかに得られますｗ





ぜひとも、各自お確かめのほどを、では、チャオ！