ハイペリオンの公転は安定しているが自転軸が不規則な動きをして４２日後にハイペリオンが何処を向いてるかわかる人はいない。わからない式がいっぱいで止めといたほうがよかったかもしれませんが、太陽系の謎の１つの取っ掛かりとしてアップしときます以下、機械翻訳。
章動軌道共鳴：ハイペリオンのカオス回転とバレル不安定性の起源
2024年10月5日
数多くの惑星や小惑星の衛星が非自明な自転状態の証拠を示しているが、太陽系における無秩序な自転軌道の進化の最も顕著な例として長い間考えられてきたハイペリオンほど象徴的なものはない。しかし、ハイペリオンの完全な 3D 自転軌道ダイナミクスの解析的に扱いやすい理論は開発されていない。我々は、平面回転や主軸回転を仮定せず、また自転周期にわたって平均化せずに、惑星の重力ポテンシャル内で自転する軸対称衛星のハミルトニアンを導出した。このモデルを使用して、自転ダイナミクスの主な駆動力として働く章動周波数と軌道周波数の間の共鳴の出現を実証した。この分析により、長年信じられてきたことに反して、ハイペリオンは無秩序に回転しているわけではないことが明らかになった。むしろ、それは離心率が一次である章動軌道共鳴の付近またはその内部にあり、準規則的に自転することができる。最も信頼性の高い観測結果は、非カオス的な運動またはカオスのいずれかと一致しており、その大きさは当初主張されていたものより桁違いに小さい。別の現象、いわゆるバレル不安定性は、平面スピン軌道共鳴を一般化する別の章動軌道共鳴セットに関連していることが示される。最後に、長い時間スケールでのスピン状態の変化は、準保存量のカオス的拡散を考慮することによって最もよく理解できることを示す。
キーワード: カオス – 惑星と衛星: 動的進化と安定性 – 惑星と衛星: 個別: ハイペリオン – 小惑星、小惑星: 全般
1 導入
太陽系のほぼすべての通常の衛星は、潮汐進化の結果として、平均軌道運動と同期して回転します。画期的な論文で、ウィズダムらは、1984）は、ハイペリオンがこの規則の例外であることを実証した。その異常に大きな離心率と非球面性により、1:2、1:1、3:2、および2:1平面スピン軌道共鳴の周囲に大きなカオスの海が形成され、カオススピンの進化が促進される。さらに、カオスの海と共鳴のほとんどは姿勢不安定であるため、ハイペリオンの傾斜角がゼロから始まると、すぐにゼロから外れてしまう。彼らの研究は、カオスを数学的な好奇心から太陽系の具体的な現実へと高める一連の研究のきっかけとなった（Wisdom、1987; ラスカー、1989)。
Wisdomらによる具体的な予測（1984）は、ハイペリオンが軌道周波数の約0.5～2倍の自転速度で無秩序に回転している状態にあると予想されていました。しかし、ハイペリオンの自転状態の測定では、かなり異なる構成が示されています。ハイペリオンは1回の軌道で4回以上も高速で回転しており、その自転軸は最長軸とほぼ一致しています（Thomas et al.、1995 20年以上の間隔を置いて行われた宇宙船のフライバイ中に行われた観測では、驚くほど一貫したスピン状態が示されており、進化がほとんどまたは全くないことを示唆している（Harbison et al.、2011)。それでも、数値解析では、ハイペリオンの回転は実際には数軌道のリャプノフ時間スケールでカオス的であることが繰り返し発見されている(Black et al.,1995; ハービソンら、2011これらの一見矛盾した結果は、文献では十分に説明されていません。
ハイペリオンの特定のケース以外にも、大きなパラメータ空間における惑星衛星と小惑星連星のスピン進化に関する最近の調査では、予想される同期、カオス的タンブリング、急速な回転状態に加えて、長寿命であると思われる理論的なスピン構成の豊富な品揃えが明らかになりました。これには、一見不規則な回転であるものの、特定の方向を好む傾向が見られるものが含まれます(Mel'Nikov & Shevchenko、2000;Ćuk et al.、2021）、歳差運動と軌道周波数の共鳴（Benettin et al.、2008; アグルサら、2021）、および高傾斜状態とタンブリングの複雑な交代（Quillen et al.、2017）。これらのエキゾチックなスピン状態は、それ自体が動的に興味深いものである一方、潮汐スピンダウンの効率やBYORP効果にも大きな影響を及ぼします（Ćuk et al.、2021; クイレンら、2020、2022)。
私たちの目的は、これらのスピン構成を記述および分類できる回転理論を開発することです。私たちは、特定の方向、傾斜、または円軌道を想定しないニュートン重力ポテンシャル内の軸対称楕円体の回転の解析モデルを開発します。このモデルは、文献ではこれまで考慮されていなかった章動周波数、つまり「揺れ」と軌道運動の間の一連の共鳴を示します。ハイペリオンの回転の観察は、ハイペリオンがこれらの章動軌道共鳴の 1 つにあるか、またはその近くにあることを示唆しています。また、これらの共鳴の重なりから短い時間スケールでのカオスが発生する可能性があることも示しています。単純な時間依存の 1 自由度モデルは、ハイペリオンのカオス的な動作を復元し、2 つの運動積分を明らかにします。さらに、別の章動軌道共鳴のセットは、よく知られているスピン軌道共鳴を一般化しますが、非主軸 (NPA) 回転と傾斜を許容します。バレル不安定性は、これらの共鳴の 1 つに捕獲された結果であることを示します。最後に、数値シミュレーションで観測されるスピン状態の長期的な変動は、運動の準積分のゆっくりとした拡散によるものであると主張します。
これまでの文献におけるNPA回転の解析的研究の試みは、一般的に2つのアプローチのいずれかに従ってきた。多くの著者は、特定のパラメータでは、同期またはほぼ同期のスピン状態が姿勢不安定であることを実証した （Mel'Nikov & Shevchenko、1998; メルニコフ＆シェフチェンコ、2008; ガイタナスら、2024; タンら、2023このアプローチは、Wisdom et al. (に遡ります。 )1984)は、平面問題においてハイペリオンの同期スピン軌道共鳴が存在するにもかかわらず、小さな傾斜が急速に大きくなり、ハイペリオンはすぐに同期状態から抜け出すことを示しました。この手法は、真に同期状態が可能かどうかという疑問に適切に答えることができますが、平面固定点の周りの局所的な動作しか明らかにできず、パラメータ空間の他の領域にある他の固定点や準周期軌道の存在を見逃しています。
あるいは、NPA回転とスピン軌道相互作用の一般的なモデルを開発した著者もいる（木下、1972; フェランディス＆サンサトゥリオ、1989; ブエ＆ラスカー、2009; クレスポ＆フェラー、2018)。これらの研究により、追加の平衡と保存量の存在が明らかになりました。ただし、これらの研究はいずれも、速い角度、通常は章動角で平均化することで問題の複雑さを軽減しています。そのため、この手順には、平均化された角度に関連する共鳴とカオス的動作が除去されるという副作用があります。したがって、解析的に扱いやすいままこれらのダイナミクスを詳細に研究するために、複雑さが増すという代償を払って回転角度で平均化することは控えています。
2 回転力学のモデル
まず、任意のケプラー軌道上で回転する剛体軸対称楕円体のハミルトニアンを導出する。後で軌道と関連付ける慣性実験室系は、正規直交基底ベクトルによって定義される。
𝐱^、𝐲^、 そして𝐳^。
2.1自由回転
楕円体は固定された主慣性モーメントを持つとみなされる
A、B、 そしてＣその𝐚^、𝐛^、 そして𝐜^主軸は物体のフレームを定義します。角速度ベクトルの成分は𝝎これらの軸に沿って
（ωa、ωb、ωc）回転楕円体の回転運動エネルギーは、（（Ａωa）2^+（Bωb^2）+（Ｃωc）^2）/2は明らかに保存されるが、これらの運動量は都合のよい角度と共役ではない。ハミルトニアンを記述するために、代わりにアンドイエ標準座標（G、g、Λ、λ、L、l) のDeprit (1967これらの座標は、スピン角運動量ベクトルに垂直な中間平面を利用している。
𝐆だれのx-軸は中間面と慣性面の交点である。
x-平面。そして、Λ=𝐆⋅𝐳^の投影です 𝐆慣性力でｚ-軸、およびλ中間面と慣性面の交点の経度である。
xxy-平面。さらに、G=|𝐆|はスピン角運動量のノルムであり、g赤道の交点の引数、またはab、中間面と体の平面。最後に、L=𝐆⋅𝐜^=Ｃωcの投影です
𝐆に体のc-軸、そしてlの議論はa
これらのフレームと座標の図を図 1に示します。また、これらの座標間の変換方法と回転を記述する他の一般的な方法の詳細については、付録Aを参照してください。
図1:実験室におけるアンドイエ座標の定義
x
xy-プレーン、アンドイエプレーン、ボディ赤道
ab-平面。また、標準的なオイラー角も示されている。
（θ、ϕ、ψ）ZXZ条約では、Andoyerの行動は次のように関連している。
cosI=Λ/GそしてcosJ=L/G。
自由回転楕円体のアンドイエ標準座標におけるハミルトニアンは（デプリ、1967）
楕円体は軸対称であると仮定し、その慣性モーメントの2つが等しいと仮定する。
B=Aすると、ハミルトニアンは単純に
このハミルトニアンはλ、g、l、 そしてΛ、したがってΛ,G、L、 そしてλは保存される。残りの座標は残りの導関数として簡単に積分できる。
g=∂ℋfree,axi/∂G=G/Aそしてl˙=∂ℋfree,axi/∂L=L（1/Ｃ−1/A）時間的に一定です。
これらの表現を解釈するために少し立ち止まって考えてみるのが有益です。主軸（ボディ）フレームでは、楕円体は
c軸は角運動量ベクトルの周りを角周波数で移動する
l˙=L（1/Ｃ−1/A）ハイペリオンの場合、これは
≈\数量15dこれは、ブラックらが発見した「ボディフレームの揺れ」の周期とほぼ一致している。1995）さらに、中間面のフレームでは、
c軸は中間面の法線を中心に次の速度で進化する。
g˙=G/A典型的な球形に近い物体（A≈Ｃ）の場合、この周波数は全角速度に匹敵します。ハイペリオンの場合、gである≈\数量7d
これも、ブラックらが発見した慣性ウォブル周波数とほぼ一致している。1995）惑星に典型的な主軸付近の回転では、L≈G、そして両方gそしてl定義が曖昧になる。その場合、c-軸はg˙+l˙≈G/Ｃ≈ωc。
わかりやすくするために、ここでは「章動」という用語を、gそしてlは、角運動量に対する物体の向きを特徴づける。ここでは「歳差運動」という用語を、慣性空間における角運動量ベクトルの変化を説明するためだけに用いることにする。
λ˙トルクフリーの場合には存在しない。また、我々は次のように仮定していないことを強調する。
A≤B≤Ｃ代わりに、a、b、 そしてc軸は軸対称性の仮定によって決定される。
A=Bしたがって、この文脈では、長球体はA>Ｃ一方、扁平体はA<Ｃ。
2.2 潮汐力
重力ポテンシャルを計算します Φ𝒢衛星は固定されたケプラー軌道で主衛星を周回するため、潮汐トルクによって衛星に作用する。一般性を失うことなく、軌道面は慣性モーメントの上にあると仮定できる。
xy平面上にあり、軌道の近点はx軸。MacCullaghの公式によれば、主軸が衛星に及ぼす電位は、衛星半径と軌道半径の比の2乗で表され、
どこα、β、 そしてγ主軸と主軸の方向との間の方向余弦であり、
r主衛星間距離（Murray & Dermott、1999）すると、固定されたケプラー軌道上の三軸楕円体のスピンの発展を記述するハミルトニアンは
簡潔にするために、Andoyer の動作と角度については明示的に記述しません。
軸対称性の仮定と、α^2+β^2+γ^2=1、その可能性は次のように単純化される。
さらに、アンドイエ座標では、
どこcosI=Λ/GそしてcosJ=L/G、 そしてf真の異常である（ララら、2010）定数項を代入して削除すると、固定ケプラー軌道上の軸対称回転楕円体のハミルトニアンは
ここで私たちは
cxそしてsxのためにcos（x）そしてsin（x）、 それぞれ。
もう1つ簡略化できることがあります。各アクションを次のようにスケールします。
A、置換を行うG〜=G/A、L〜=L/A、 そしてΛ〜=Λ/Aシンプレクティシティを維持するために（つまり、時間単位の変更を避けるために）、ハミルトニアンも同じ係数でスケーリングします。
ℋ〜 = ℋ^/Aこれにより、慣性モーメントへの依存度が1つの量に減少し、次のように定義されます。
ρ=3（A−Ｃ）/A以降は、明確化のため作用のチルダを省略しますが、特に断りのない限り、スケール作用について言及します。作用について明示的に記述したハミルトニアンは、
ハミルトニアン
ℋ〜もはや独立していないg、λ、 またはΛ、したがって、自由回転で保存された共役対は変化する可能性がある。しかし、
lそしてこうしてL保存されたままである。また、時間依存的であることも明らかである。
rそしてf軌道が偏心している場合、どちらも時間とともに非線形に変化します。
このモデルは、ゴールドライヒとピール（1966）の標準的なスピン軌道法の一般化であるは、回転ベクトルが軌道法線と主軸の両方に揃っていると仮定している。つまり、楕円体は物体の周りだけを回転する。
1つの
-軸は慣性軸と一直線に並んでいる
z-軸なのでL=0そしてΛ=Gこのような状態で、λは定義が不十分であり、任意に0に設定することができる。その場合、ハミルトニアンは
振り子のような運動方程式を持つ
これは、軸対称性の仮定の下で Goldreich & Peale (1966) によって導出されたものと同等の振り子のような運動方程式を持ちます。
したがって、私たちの一般化モデルには、これまでに研究されたこれらのダイナミクスが含まれていますが、軌道面と本体の主軸の両方に対してずれたスピン軸に関連するはるかに広範な動作も考慮に入れています。
3. ハイペリオンの回転
ハイペリオンの形状は、ほぼ軸対称の楕円体に似ています。Thomas et al. (1995) は、内部が均質であると仮定して、ボイジャー 2 の形状モデルから主慣性モーメントを推定しました。主軸の順列 (付録 A を参照) を介して、その結果を A ≈ B の慣例に変換し、AH = 0.459、BH = 0.519、CH = 0.323 を導き出し、MH⟨RH⟩ 2 で正規化しました。ここで、MH はハイペリオンの質量、⟨RH⟩ は平均半径です。Harbison et al. (2011) は、Thomas et al. (2007) のカッシーニ形状モデルを使用して同様の分析を行い、AH = 0.474、BH = 0.542、CH = 0.314 という結果を得ました。軸対称性の仮定に従うために、A = (AH + BH)/2、C = CH とすると、Thomas et al. (1995) と Harbison et al. (2011) の測定結果ではそれぞれ ρ = 1.02、ρ = 1.15 となります。
ハイペリオンの土星周回軌道の周期は 21.2 日で、半長軸は土星半径の約 25 倍です。ハイペリオンの離心率は約 0.08 ～ 0.12 で、周期は 20 年です。これは、ハイペリオンがタイタンと 4:3 の平均運動共鳴状態にあるためです (Duriez & Vienne 1997)。この離心率は、太陽系の通常の衛星の中では特異なほど大きく (Peale 1999)、外向きに移動するタイタンとの平均運動共鳴相互作用によって生じたと考えられています (Colombo et al. 1974; Cuk ´
et al. 2013; Goldberg & Batygin 2024)。
1981 年のボイジャー 2 号フライバイ (Thomas et al. 1995; Black et al. 1995) および 2005 年のカッシーニ フライバイ (Thomas et al. 2007; Harbison et al. 2011) 中に観測された回転状態を表 1 にまとめ、Andoyer 座標での値を表 2 に示します。すべてのケースで、回転は主に長軸上で発生します。短軸の回転成分は変化し、慣性空間におけるスピン ベクトルの投影も変化します。全スピン周波数は平均運動の約 4.2 倍で驚くほど一定であり、H˜ ではすぐには明らかではない対称性が存在することを示唆しています。軸対称ハミルトニアン H˜ の完全な 3 自由度ダイナミクスでさえ、一般的に解析するには複雑すぎます。したがって、手元の問題に関連する単純化の仮定を立てる必要があります。天体力学における従来のアプローチは、循環する高調波を平均化することであるため、最初に考慮すべき点は、7 つのコサイン高調波のうちどれを保持する必要があるかです。引数が急速に変化する高調波は、全体のダイナミクスに大きな影響を与えることなく平均化できます。各高調波の引数の変化率は、座標の進化がハミルトニアンの運動項によって支配されていると仮定することで推定できます。 Hyperion のパラメータについては、運動項のみを考慮すると、˙g ≈ G˜ ≈ 3、|λ˙| ≪ 1、
表 1。ボイジャー 2 号の 1 回の飛行とカッシーニの 3 回のフライバイ中に観測されたハイペリオンの軌道とスピンの状態。
注: Black ら (1995) および Harbison ら (2011) によって報告されたデータ。オイラー角 θ、ϕ、および ψ は ZXZ 規則を使用します。
表 2: 表 1 で観測された回転状態の Andoyer 座標 (再スケールされたアクションを含む)。
˙f ≈ 1 となります。この推論は、引数 ϕ ≡ g + 2λ − 2 f の最終調和関数 (ϕ˙ ≈ 1 になります) が、Hyperion の現在の回転状態のコンテキストで最も動的に重要である可能性が高いことを示唆しています。
3.1. 単一調和関数
したがって、単純な第 1 近似として、引数 g+2λ−2 f を持つ H˜
の最終調和関数のみを保持します。この縮小ハミルトニアン Hˆ 1 は、単一の線形結合 g + 2λ を通じてのみ座標に依存します。自由度をなくすために、標準変換 g′ = g + 2λ、Λ′ = Λ − 2G を定義し、G′ = G および λ′ = λ は変更されないため、それらの素数を削除します。すると次の式が得られます
ハミルトニアン Hˆ 1
はλに関して巡回的であるため、Λ′ = Λ − 2G は保存量です。
作用への複雑な依存性のため表面的にはかなり異なっているものの、Hˆ 1
は Goldreich & Peale (1966) の標準的な平面スピン軌道モデルと非常によく似ています。彼らのアプローチに従って、r と f を離心率の累乗で展開し、スピン軌道共鳴の類似物を得ます (Goldreich & Peale 1966; Wisdom et al. 1984)。e2
のオーダーまでの項を保持し、M のみに依存するコサインを平均すると、次の式が得られます。
ここで、M = t + M0 は平均異常です。一般に、共鳴は ˙g
′ = g˙ + 2λ˙ ≃ p のときに存在します。ここで p は 0 以外の整数です。これらの共鳴を p:1「章動軌道共鳴」と呼びます。各共鳴を乗じる係数の主要項は e^
|p−2|
としてスケールします。直感的に、章動軌道共鳴は、回転する物体の角運動量ベクトルの周りの章動が軌道周波数の倍数で発生するスピン状態を表し、1/p の軌道の後に物体が元の方向に戻ります。2λ 項の存在は、問題の回転対称性によって必要であり、天体力学の擾乱関数の展開におけるダランベール則に相当します。1
Hyperion のダイナミクスの比較的正確なモデルは、3:1 共鳴高調波のみを保持し、他のコサイン項を無視する (つまり、平均化する) ことによって取得できます。明示的な時間依存性を除去するために、ハミルトニアンに M に共役な運動量 T を追加して位相空間を拡張し、次に G に共役な ϕ ≡ g′ − 3M、および M に共役な Θ ≡ 3G + T という標準置換を実行します。変換されたハミルトニアンは、
はMで巡回しているため、自由度は1つだけであり、したがって積分可能で非カオス的です。それでも、H1 3
はHyperionの現在のスピンダイナミクスの多くを捉えるのに十分です。
図 2 は、ボイジャー 2 号とカッシーニのフライバイ中に観測された状態 (表 1 と 2) から始まる、アンドイエル作用と共鳴角 ϕ の進化を示しています。ゴールドバーグとバティギン (2024) と同じ方法を使用して、四元数座標で完全なオイラー剛体方程式を数値積分し、ブラックら (1995) (ボイジャー 2 号フライバイの場合) とハービソンら (2011) がカッシーニ観測に対して推定した 3 つの固有の慣性モーメントを組み込みました。また、破線で示す H1 3 の運動方程式も数値積分しました。ボイジャー 2 号の遭遇と最初のカッシーニ フライバイ中に観測された状態では ϕ が循環しているのに対し (左の 2 つの列)、他の 2 つのカッシーニ フライバイでは大きな振幅で振動していることがわかります (中央と右の列)。積分可能モデルは、初期条件に応じて、ϕ の秤動と循環の両方を正しく捉えます。さらに、H1 3 で保存される L と Λ′は、H ではわずかにしか変化しません。
完全なダイナミクスのいくつかの特徴は、積分可能モデルには存在しません。1 つには、H1 3 は、2 回目と 3 回目のカッシーニ フライバイの秤動周波数を過大評価します。これらの解は共鳴セパラトリックスのすぐ近くにあります。ここで、秤動周波数は、システムの状態に対するセパラトリックスの正確な位置に大きく依存します。真のセパラトリックスは、無視した項からの摂動により「呼吸」するため、解は周期的ではなく、実際には数十から数百の軌道の時間スケールで秤動と循環を交互に繰り返すことができます。さらに、アクションには高周波、低振幅の振動があります。 L の変化は、A と B の慣性モーメントの約 10% の差に関係しており、1 回転サイクル中に長軸の角速度が変化します (Deprit 1967)。Λ′
の変化は、主に残りの 6 つの高調波に高速項が存在することによるもので、より精巧な計算では、ほぼ恒等正準変換で説明できます。
これは重要です。
図 2 に示されている 3 回のカッシーニ フライバイ後の進化は重なり合っていることに注意することが重要です。各フライバイはわずか 2 周回しか離れていないため、Harbison ら (2011) が報告した状態は互いに一致していません。これは完全に無秩序な進化によるものではありません。Λ′はフライバイ 2 とフライバイ 3 の間では数百周回で進化できるものよりはるかに異なります。この不一致は Harbison ら (2011) によって指摘され、Hyperion の密度が低いということはかなりの空隙があるに違いないという見解を示しました。Hyperion の空隙が均一でない場合、形状モデルから推定される慣性モーメントは不正確になります。さらに重要なのは、真の主軸は楕円体軸と平行にならず、ωa、ωb、ωc の報告値は、慣性空間で適切に測定された ω の投影を間違った軸に表すため不正確になるということです。
Harbison ら (2011) は、真の主軸が本体軸に対してずれていることを許容することで、この問題に対処しようとしました。彼らは、主軸を本体軸からオイラー角 (θ
′, ϕ′, ψ′) = (40◦, 20◦, 10◦) だけ回転させると、3 回のカッシーニフライバイへの適合が大幅に改善されることを発見しました。この追加の変換による再計算された回転状態は、表 1 と 2 に示されています。これらの初期条件から始めて、完全ハミルトニアン H と積分可能な共鳴ハミルトニアン H^1 3を再度積分しました (図 3)。
これらの補正により、最初の 2 回のカッシーニのフライバイでは ϕ の明確な振動挙動が示され、最後のフライバイではセパラトリックスに非常に近い循環が示されます。推測ではありますが、この証拠は、ハイペリオンが実際に 3:1 章動軌道共鳴内にある可能性があることを示唆しています。もしこれが真実なら、この状態に進化したのは、急速に減衰する NPA 回転の潮汐応力による可能性が高い (Burns& Safronov 1973)
図 2. 4 回の宇宙船フライバイ (それぞれ t = 0 で発生) 後の、スケールされた Andoyer アクション (上段) と 3:1 章動軌道共鳴角 (下段) における Hyperion の回転状態の時間的変化。実線は、Hyperion の非軸対称性を含む完全回転モデル H の結果を示しています。積分可能な 1 自由度 (つまり、非カオス) ハミルトニアン H^1 3
の解は、同じ初期条件から積分されて、破線で示されています。アクション L と Λ′は H^1 3で保存されます。
6. 考察と結論
我々は、ハイペリオンのスピンダイナミクスの観測とシミュレーションの不一致を解決することを目指して、スピン軸の向きに制限を課さずに固定ケプラー軌道にある軸対称衛星のスピン軌道結合を調査しました。章動軌道共鳴の豊富なセットがあり、その一部は古典的なスピン軌道共鳴の明確な一般化であり、他のものは非主軸 (NPA) 回転がある場合にのみ出現することが分かりました。我々の分析は、ハイペリオンが無秩序に回転しているのではなく、3:1 章動軌道共鳴内またはその近くで急速に回転しており、その強さはハイペリオンの非球面性、軌道の離心率、および急速な長軸回転の組み合わせによって決まることを示しています。また、連星系小惑星の数値シミュレーション (Cuk et al. ´ 2021) で見られる、ほぼ同期したスピン状態と長軸ロールであるバレル不安定性は、実際には 2:2 章動軌道共鳴への捕捉であることも示しています。現実的な仮定の下では、面外回転と長軸ロールは持続する可能性があり、同期共鳴を破壊することはありません。さらに、これらの共鳴は、中程度の離心率と小惑星や小型惑星衛星に典型的な非球面性に対してかなり広くなる可能性があります。共鳴の重なりによって生成される大規模なカオスの海が頻繁に存在します。ハイペリオンの回転の数値シミュレーションで観察されるカオスは、これらの 1 自由度の共鳴の重なりによって説明でき、2 つの独立した運動の準積分は、数百の軌道の時間スケールでほぼ保存されます。このメカニズムは、Wisdom et al. によって提案された平面スピン軌道共鳴の重なりとは根本的に異なります。 (1984) は、スピン速度が軌道周波数の約 2 倍未満の場合にのみ発生します。実際、既知のスピン速度が軌道周波数の 4 ～ 5 倍である場合、ハイペリオンは、保存された KAM トーラスの領域 (および Wisdom ら (1984) の図 2 の頂点より上) にあるため、平面スピン軌道共鳴の枠組みではカオスになりません。ハイペリオンの回転状態を正確に制限し、存在するカオスの程度 (存在する場合) を判断するには、より詳細な観察が必要です。また、平均化されていない軸対称ハミルトニアンの長期的変化も研究しました。数百から数万の軌道にわたって、システムは急速なカオスの領域と非常に規則的な動作の領域を交互に繰り返します。後者は、しばしば共鳴への一時的な捕捉を伴います。さらに、ハイペリオンの特定のパラメータでは、最も強力な共鳴が Λ − 2G を保存し、その結果、時間スケールの大きな分離が生じます。つまり、準積分 Λ − 2G の緩やかな拡散に加えて、近くの章動軌道の重なりによる急速なカオスが発生します。文献における準規則状態と完全カオス状態の融合は、スピンの角速度と方向角のみの検討から生じていることを、ある程度強調したいと思います。代わりに、多くの場合、角運動量の単位を持つ Andoyer アクションは、はるかに規則的な動作をします。たとえば、平面スピン軌道共鳴を直接一般化した Hˆ 2 では、傾斜角 I は保存されません。ただし、軌道面からの回転の大きさも表す関連量 Λ′ = G(cosI − 1) は保存されます。高速回転角を平均化できる「永年」領域では、G 自体が保存され、区別は消えます。
私たちの研究はいくつかの方法で拡張できます。軸対称性の仮定を緩和して、たとえば、Black ら (1995) のシミュレーションで最初に確認されたハイペリオンのカオス的タンブリングや長軸スピンアップを適切にモデル化できます。H˜ の 7 つの調和関数 (それぞれが e の無限級数である) とは対照的に、3 軸ハミルトニアン H には 23 の調和関数があります。特に低離心率またはほぼ球形の限界でのカオス的タンブリングの開始などの定性的な特徴の推定値を取得するために、いくつかの近似を適用できると考えられます。また、衛星のスピンが軌道に結合することも無視しました。これは、小惑星連星にとって特に重要な効果です (Fahnestock & Scheeres 2008)。原理的には、ハミルトニアンにケプラー項を追加することでこれを含めることができます (例: Boué & Laskar 2009)。
私たちが無視してきた最も重要な効果は、非保存力、特に潮汐散逸と放射力の影響です。実際には、回転が最大慣性モーメントの軸と一致していない物体は、内部応力を受け、エネルギーを散逸します (Efroimsky 2000)。散逸率は、回転速度と章動角 J に敏感に依存しますが、非常に急速になることがあります (Burns & Safronov 1973; Frouard & Efroimsky 2018; Quillen et al. 2019)。数値シミュレーションで使用される最も単純なウォブル減衰の処方 (力が常に物体を最大慣性モーメントの軸上で回転させる) が、この処方で十分であるかどうかは明らかではありません。
この場合、nertia (例: Meyer et al. 2023) などのモデルが適用可能です。Quillen et al. (2022) の粘弾性シミュレーションは、章動軌道共鳴への捕捉を示しているように見えますが、捕捉後も NPA 回転が長寿命である可能性があることを示唆しています。放射力も、BYORP 効果 (Cuk & Burns ´ 2005) を通じて衛星のスピン状態と軌道の両方を変更できる別の角運動量源を提供するため、重要です。これらの共鳴の捕捉と脱出の両方における潮汐力と放射力の役割を評価するには包括的な研究が必要ですが、この記事で行われた作業は、より洗練されたモデルを開発できるハミルトンのフレームワークを提供します。最後に、潮汐散逸は、Hyperion の予期しない回転状態の起源を理解する鍵となる可能性があります。長軸回転は、固定角運動量を仮定すると、最大エネルギー構成であり、したがって散逸により最短軸上で回転するはずです。ただし、共鳴固定点は、一般的に散逸力学系におけるアトラクターとして機能します。これら 2 つの競合する効果の正確な相互作用は明らかではありません。ハイペリオンの場合、その軌道離心率は、タイタンとの平均運動共鳴により 2 つの時間スケールで変化するという事実によって複雑になっています。共鳴秤動周期での 2 年間の振動 (Duriez & Vienne
1997) と、タイタンの外向きの移動による緩やかな成長 (Colombo et al. 1974) です。逆に、ハイペリオン自身の急速な NPA 回転は、離心率を低下させる働きをします (Goldberg & Batygin 2024)。これらの離心率の変化は、回転状態の変化として現れます。つまり、離心率が高い場合、通常の領域が混沌とした海に融合し、その逆も起こります。 1 つの可能性は、潮汐散逸によってハイペリオンが規則的または準規則的な回転状態になり、散逸が小さくなることです。その後、その離心率は最終的に大きくなり、ハイペリオンが位置する共鳴島が消え、混沌とした回転を強いられます。その結果生じる NPA 回転によって離心率が減衰し、最終的に共鳴島に捕獲されます。このシナリオを適切に調査するには、軌道とスピンの結合 (この研究の主題)、スピンと軌道の結合、およびスピンに依存する潮汐散逸の取り扱いが必要になります。
章動軌道共鳴：ハイペリオンのカオス回転とバレル不安定性の起源
2024年10月5日
数多くの惑星や小惑星の衛星が非自明な自転状態の証拠を示しているが、太陽系における無秩序な自転軌道の進化の最も顕著な例として長い間考えられてきたハイペリオンほど象徴的なものはない。しかし、ハイペリオンの完全な 3D 自転軌道ダイナミクスの解析的に扱いやすい理論は開発されていない。我々は、平面回転や主軸回転を仮定せず、また自転周期にわたって平均化せずに、惑星の重力ポテンシャル内で自転する軸対称衛星のハミルトニアンを導出した。このモデルを使用して、自転ダイナミクスの主な駆動力として働く章動周波数と軌道周波数の間の共鳴の出現を実証した。この分析により、長年信じられてきたことに反して、ハイペリオンは無秩序に回転しているわけではないことが明らかになった。むしろ、それは離心率が一次である章動軌道共鳴の付近またはその内部にあり、準規則的に自転することができる。最も信頼性の高い観測結果は、非カオス的な運動またはカオスのいずれかと一致しており、その大きさは当初主張されていたものより桁違いに小さい。別の現象、いわゆるバレル不安定性は、平面スピン軌道共鳴を一般化する別の章動軌道共鳴セットに関連していることが示される。最後に、長い時間スケールでのスピン状態の変化は、準保存量のカオス的拡散を考慮することによって最もよく理解できることを示す。
キーワード: カオス – 惑星と衛星: 動的進化と安定性 – 惑星と衛星: 個別: ハイペリオン – 小惑星、小惑星: 全般
1 導入
太陽系のほぼすべての通常の衛星は、潮汐進化の結果として、平均軌道運動と同期して回転します。画期的な論文で、ウィズダムらは、1984）は、ハイペリオンがこの規則の例外であることを実証した。その異常に大きな離心率と非球面性により、1:2、1:1、3:2、および2:1平面スピン軌道共鳴の周囲に大きなカオスの海が形成され、カオススピンの進化が促進される。さらに、カオスの海と共鳴のほとんどは姿勢不安定であるため、ハイペリオンの傾斜角がゼロから始まると、すぐにゼロから外れてしまう。彼らの研究は、カオスを数学的な好奇心から太陽系の具体的な現実へと高める一連の研究のきっかけとなった（Wisdom、1987; ラスカー、1989)。
Wisdomらによる具体的な予測（1984）は、ハイペリオンが軌道周波数の約0.5～2倍の自転速度で無秩序に回転している状態にあると予想されていました。しかし、ハイペリオンの自転状態の測定では、かなり異なる構成が示されています。ハイペリオンは1回の軌道で4回以上も高速で回転しており、その自転軸は最長軸とほぼ一致しています（Thomas et al.、1995 20年以上の間隔を置いて行われた宇宙船のフライバイ中に行われた観測では、驚くほど一貫したスピン状態が示されており、進化がほとんどまたは全くないことを示唆している（Harbison et al.、2011)。それでも、数値解析では、ハイペリオンの回転は実際には数軌道のリャプノフ時間スケールでカオス的であることが繰り返し発見されている(Black et al.,1995; ハービソンら、2011これらの一見矛盾した結果は、文献では十分に説明されていません。
ハイペリオンの特定のケース以外にも、大きなパラメータ空間における惑星衛星と小惑星連星のスピン進化に関する最近の調査では、予想される同期、カオス的タンブリング、急速な回転状態に加えて、長寿命であると思われる理論的なスピン構成の豊富な品揃えが明らかになりました。これには、一見不規則な回転であるものの、特定の方向を好む傾向が見られるものが含まれます(Mel'Nikov & Shevchenko、2000;Ćuk et al.、2021）、歳差運動と軌道周波数の共鳴（Benettin et al.、2008; アグルサら、2021）、および高傾斜状態とタンブリングの複雑な交代（Quillen et al.、2017）。これらのエキゾチックなスピン状態は、それ自体が動的に興味深いものである一方、潮汐スピンダウンの効率やBYORP効果にも大きな影響を及ぼします（Ćuk et al.、2021; クイレンら、2020、2022)。
私たちの目的は、これらのスピン構成を記述および分類できる回転理論を開発することです。私たちは、特定の方向、傾斜、または円軌道を想定しないニュートン重力ポテンシャル内の軸対称楕円体の回転の解析モデルを開発します。このモデルは、文献ではこれまで考慮されていなかった章動周波数、つまり「揺れ」と軌道運動の間の一連の共鳴を示します。ハイペリオンの回転の観察は、ハイペリオンがこれらの章動軌道共鳴の 1 つにあるか、またはその近くにあることを示唆しています。また、これらの共鳴の重なりから短い時間スケールでのカオスが発生する可能性があることも示しています。単純な時間依存の 1 自由度モデルは、ハイペリオンのカオス的な動作を復元し、2 つの運動積分を明らかにします。さらに、別の章動軌道共鳴のセットは、よく知られているスピン軌道共鳴を一般化しますが、非主軸 (NPA) 回転と傾斜を許容します。バレル不安定性は、これらの共鳴の 1 つに捕獲された結果であることを示します。最後に、数値シミュレーションで観測されるスピン状態の長期的な変動は、運動の準積分のゆっくりとした拡散によるものであると主張します。
これまでの文献におけるNPA回転の解析的研究の試みは、一般的に2つのアプローチのいずれかに従ってきた。多くの著者は、特定のパラメータでは、同期またはほぼ同期のスピン状態が姿勢不安定であることを実証した （Mel'Nikov & Shevchenko、1998; メルニコフ＆シェフチェンコ、2008; ガイタナスら、2024; タンら、2023このアプローチは、Wisdom et al. (に遡ります。 )1984)は、平面問題においてハイペリオンの同期スピン軌道共鳴が存在するにもかかわらず、小さな傾斜が急速に大きくなり、ハイペリオンはすぐに同期状態から抜け出すことを示しました。この手法は、真に同期状態が可能かどうかという疑問に適切に答えることができますが、平面固定点の周りの局所的な動作しか明らかにできず、パラメータ空間の他の領域にある他の固定点や準周期軌道の存在を見逃しています。
あるいは、NPA回転とスピン軌道相互作用の一般的なモデルを開発した著者もいる（木下、1972; フェランディス＆サンサトゥリオ、1989; ブエ＆ラスカー、2009; クレスポ＆フェラー、2018)。これらの研究により、追加の平衡と保存量の存在が明らかになりました。ただし、これらの研究はいずれも、速い角度、通常は章動角で平均化することで問題の複雑さを軽減しています。そのため、この手順には、平均化された角度に関連する共鳴とカオス的動作が除去されるという副作用があります。したがって、解析的に扱いやすいままこれらのダイナミクスを詳細に研究するために、複雑さが増すという代償を払って回転角度で平均化することは控えています。
2 回転力学のモデル
まず、任意のケプラー軌道上で回転する剛体軸対称楕円体のハミルトニアンを導出する。後で軌道と関連付ける慣性実験室系は、正規直交基底ベクトルによって定義される。
𝐱^、𝐲^、 そして𝐳^。
2.1自由回転
楕円体は固定された主慣性モーメントを持つとみなされる
A、B、 そしてＣその𝐚^、𝐛^、 そして𝐜^主軸は物体のフレームを定義します。角速度ベクトルの成分は𝝎これらの軸に沿って
（ωa、ωb、ωc）回転楕円体の回転運動エネルギーは、（（Ａωa）2^+（Bωb^2）+（Ｃωc）^2）/2は明らかに保存されるが、これらの運動量は都合のよい角度と共役ではない。ハミルトニアンを記述するために、代わりにアンドイエ標準座標（G、g、Λ、λ、L、l) のDeprit (1967これらの座標は、スピン角運動量ベクトルに垂直な中間平面を利用している。
𝐆だれのx-軸は中間面と慣性面の交点である。
x-平面。そして、Λ=𝐆⋅𝐳^の投影です 𝐆慣性力でｚ-軸、およびλ中間面と慣性面の交点の経度である。
xxy-平面。さらに、G=|𝐆|はスピン角運動量のノルムであり、g赤道の交点の引数、またはab、中間面と体の平面。最後に、L=𝐆⋅𝐜^=Ｃωcの投影です
𝐆に体のc-軸、そしてlの議論はa
これらのフレームと座標の図を図 1に示します。また、これらの座標間の変換方法と回転を記述する他の一般的な方法の詳細については、付録Aを参照してください。
図1:実験室におけるアンドイエ座標の定義
x
xy-プレーン、アンドイエプレーン、ボディ赤道
ab-平面。また、標準的なオイラー角も示されている。
（θ、ϕ、ψ）ZXZ条約では、Andoyerの行動は次のように関連している。
cosI=Λ/GそしてcosJ=L/G。
自由回転楕円体のアンドイエ標準座標におけるハミルトニアンは（デプリ、1967）
楕円体は軸対称であると仮定し、その慣性モーメントの2つが等しいと仮定する。
B=Aすると、ハミルトニアンは単純に
このハミルトニアンはλ、g、l、 そしてΛ、したがってΛ,G、L、 そしてλは保存される。残りの座標は残りの導関数として簡単に積分できる。
g=∂ℋfree,axi/∂G=G/Aそしてl˙=∂ℋfree,axi/∂L=L（1/Ｃ−1/A）時間的に一定です。
これらの表現を解釈するために少し立ち止まって考えてみるのが有益です。主軸（ボディ）フレームでは、楕円体は
c軸は角運動量ベクトルの周りを角周波数で移動する
l˙=L（1/Ｃ−1/A）ハイペリオンの場合、これは
≈\数量15dこれは、ブラックらが発見した「ボディフレームの揺れ」の周期とほぼ一致している。1995）さらに、中間面のフレームでは、
c軸は中間面の法線を中心に次の速度で進化する。
g˙=G/A典型的な球形に近い物体（A≈Ｃ）の場合、この周波数は全角速度に匹敵します。ハイペリオンの場合、gである≈\数量7d
これも、ブラックらが発見した慣性ウォブル周波数とほぼ一致している。1995）惑星に典型的な主軸付近の回転では、L≈G、そして両方gそしてl定義が曖昧になる。その場合、c-軸はg˙+l˙≈G/Ｃ≈ωc。
わかりやすくするために、ここでは「章動」という用語を、gそしてlは、角運動量に対する物体の向きを特徴づける。ここでは「歳差運動」という用語を、慣性空間における角運動量ベクトルの変化を説明するためだけに用いることにする。
λ˙トルクフリーの場合には存在しない。また、我々は次のように仮定していないことを強調する。
A≤B≤Ｃ代わりに、a、b、 そしてc軸は軸対称性の仮定によって決定される。
A=Bしたがって、この文脈では、長球体はA>Ｃ一方、扁平体はA<Ｃ。
2.2 潮汐力
重力ポテンシャルを計算します Φ𝒢衛星は固定されたケプラー軌道で主衛星を周回するため、潮汐トルクによって衛星に作用する。一般性を失うことなく、軌道面は慣性モーメントの上にあると仮定できる。
xy平面上にあり、軌道の近点はx軸。MacCullaghの公式によれば、主軸が衛星に及ぼす電位は、衛星半径と軌道半径の比の2乗で表され、
どこα、β、 そしてγ主軸と主軸の方向との間の方向余弦であり、
r主衛星間距離（Murray & Dermott、1999）すると、固定されたケプラー軌道上の三軸楕円体のスピンの発展を記述するハミルトニアンは
簡潔にするために、Andoyer の動作と角度については明示的に記述しません。
軸対称性の仮定と、α^2+β^2+γ^2=1、その可能性は次のように単純化される。
さらに、アンドイエ座標では、
どこcosI=Λ/GそしてcosJ=L/G、 そしてf真の異常である（ララら、2010）定数項を代入して削除すると、固定ケプラー軌道上の軸対称回転楕円体のハミルトニアンは
ここで私たちは
cxそしてsxのためにcos（x）そしてsin（x）、 それぞれ。
もう1つ簡略化できることがあります。各アクションを次のようにスケールします。
A、置換を行うG〜=G/A、L〜=L/A、 そしてΛ〜=Λ/Aシンプレクティシティを維持するために（つまり、時間単位の変更を避けるために）、ハミルトニアンも同じ係数でスケーリングします。
ℋ〜 = ℋ^/Aこれにより、慣性モーメントへの依存度が1つの量に減少し、次のように定義されます。
ρ=3（A−Ｃ）/A以降は、明確化のため作用のチルダを省略しますが、特に断りのない限り、スケール作用について言及します。作用について明示的に記述したハミルトニアンは、
ハミルトニアン
ℋ〜もはや独立していないg、λ、 またはΛ、したがって、自由回転で保存された共役対は変化する可能性がある。しかし、
lそしてこうしてL保存されたままである。また、時間依存的であることも明らかである。
rそしてf軌道が偏心している場合、どちらも時間とともに非線形に変化します。
このモデルは、ゴールドライヒとピール（1966）の標準的なスピン軌道法の一般化であるは、回転ベクトルが軌道法線と主軸の両方に揃っていると仮定している。つまり、楕円体は物体の周りだけを回転する。
1つの
-軸は慣性軸と一直線に並んでいる
z-軸なのでL=0そしてΛ=Gこのような状態で、λは定義が不十分であり、任意に0に設定することができる。その場合、ハミルトニアンは
振り子のような運動方程式を持つ
これは、軸対称性の仮定の下で Goldreich & Peale (1966) によって導出されたものと同等の振り子のような運動方程式を持ちます。
したがって、私たちの一般化モデルには、これまでに研究されたこれらのダイナミクスが含まれていますが、軌道面と本体の主軸の両方に対してずれたスピン軸に関連するはるかに広範な動作も考慮に入れています。
3. ハイペリオンの回転
ハイペリオンの形状は、ほぼ軸対称の楕円体に似ています。Thomas et al. (1995) は、内部が均質であると仮定して、ボイジャー 2 の形状モデルから主慣性モーメントを推定しました。主軸の順列 (付録 A を参照) を介して、その結果を A ≈ B の慣例に変換し、AH = 0.459、BH = 0.519、CH = 0.323 を導き出し、MH⟨RH⟩ 2 で正規化しました。ここで、MH はハイペリオンの質量、⟨RH⟩ は平均半径です。Harbison et al. (2011) は、Thomas et al. (2007) のカッシーニ形状モデルを使用して同様の分析を行い、AH = 0.474、BH = 0.542、CH = 0.314 という結果を得ました。軸対称性の仮定に従うために、A = (AH + BH)/2、C = CH とすると、Thomas et al. (1995) と Harbison et al. (2011) の測定結果ではそれぞれ ρ = 1.02、ρ = 1.15 となります。
ハイペリオンの土星周回軌道の周期は 21.2 日で、半長軸は土星半径の約 25 倍です。ハイペリオンの離心率は約 0.08 ～ 0.12 で、周期は 20 年です。これは、ハイペリオンがタイタンと 4:3 の平均運動共鳴状態にあるためです (Duriez & Vienne 1997)。この離心率は、太陽系の通常の衛星の中では特異なほど大きく (Peale 1999)、外向きに移動するタイタンとの平均運動共鳴相互作用によって生じたと考えられています (Colombo et al. 1974; Cuk ´
et al. 2013; Goldberg & Batygin 2024)。
1981 年のボイジャー 2 号フライバイ (Thomas et al. 1995; Black et al. 1995) および 2005 年のカッシーニ フライバイ (Thomas et al. 2007; Harbison et al. 2011) 中に観測された回転状態を表 1 にまとめ、Andoyer 座標での値を表 2 に示します。すべてのケースで、回転は主に長軸上で発生します。短軸の回転成分は変化し、慣性空間におけるスピン ベクトルの投影も変化します。全スピン周波数は平均運動の約 4.2 倍で驚くほど一定であり、H˜ ではすぐには明らかではない対称性が存在することを示唆しています。軸対称ハミルトニアン H˜ の完全な 3 自由度ダイナミクスでさえ、一般的に解析するには複雑すぎます。したがって、手元の問題に関連する単純化の仮定を立てる必要があります。天体力学における従来のアプローチは、循環する高調波を平均化することであるため、最初に考慮すべき点は、7 つのコサイン高調波のうちどれを保持する必要があるかです。引数が急速に変化する高調波は、全体のダイナミクスに大きな影響を与えることなく平均化できます。各高調波の引数の変化率は、座標の進化がハミルトニアンの運動項によって支配されていると仮定することで推定できます。 Hyperion のパラメータについては、運動項のみを考慮すると、˙g ≈ G˜ ≈ 3、|λ˙| ≪ 1、
表 1。ボイジャー 2 号の 1 回の飛行とカッシーニの 3 回のフライバイ中に観測されたハイペリオンの軌道とスピンの状態。
注: Black ら (1995) および Harbison ら (2011) によって報告されたデータ。オイラー角 θ、ϕ、および ψ は ZXZ 規則を使用します。
表 2: 表 1 で観測された回転状態の Andoyer 座標 (再スケールされたアクションを含む)。
˙f ≈ 1 となります。この推論は、引数 ϕ ≡ g + 2λ − 2 f の最終調和関数 (ϕ˙ ≈ 1 になります) が、Hyperion の現在の回転状態のコンテキストで最も動的に重要である可能性が高いことを示唆しています。
3.1. 単一調和関数
したがって、単純な第 1 近似として、引数 g+2λ−2 f を持つ H˜
の最終調和関数のみを保持します。この縮小ハミルトニアン Hˆ 1 は、単一の線形結合 g + 2λ を通じてのみ座標に依存します。自由度をなくすために、標準変換 g′ = g + 2λ、Λ′ = Λ − 2G を定義し、G′ = G および λ′ = λ は変更されないため、それらの素数を削除します。すると次の式が得られます
ハミルトニアン Hˆ 1
はλに関して巡回的であるため、Λ′ = Λ − 2G は保存量です。
作用への複雑な依存性のため表面的にはかなり異なっているものの、Hˆ 1
は Goldreich & Peale (1966) の標準的な平面スピン軌道モデルと非常によく似ています。彼らのアプローチに従って、r と f を離心率の累乗で展開し、スピン軌道共鳴の類似物を得ます (Goldreich & Peale 1966; Wisdom et al. 1984)。e2
のオーダーまでの項を保持し、M のみに依存するコサインを平均すると、次の式が得られます。
ここで、M = t + M0 は平均異常です。一般に、共鳴は ˙g
′ = g˙ + 2λ˙ ≃ p のときに存在します。ここで p は 0 以外の整数です。これらの共鳴を p:1「章動軌道共鳴」と呼びます。各共鳴を乗じる係数の主要項は e^
|p−2|
としてスケールします。直感的に、章動軌道共鳴は、回転する物体の角運動量ベクトルの周りの章動が軌道周波数の倍数で発生するスピン状態を表し、1/p の軌道の後に物体が元の方向に戻ります。2λ 項の存在は、問題の回転対称性によって必要であり、天体力学の擾乱関数の展開におけるダランベール則に相当します。1
Hyperion のダイナミクスの比較的正確なモデルは、3:1 共鳴高調波のみを保持し、他のコサイン項を無視する (つまり、平均化する) ことによって取得できます。明示的な時間依存性を除去するために、ハミルトニアンに M に共役な運動量 T を追加して位相空間を拡張し、次に G に共役な ϕ ≡ g′ − 3M、および M に共役な Θ ≡ 3G + T という標準置換を実行します。変換されたハミルトニアンは、
はMで巡回しているため、自由度は1つだけであり、したがって積分可能で非カオス的です。それでも、H1 3
はHyperionの現在のスピンダイナミクスの多くを捉えるのに十分です。
図 2 は、ボイジャー 2 号とカッシーニのフライバイ中に観測された状態 (表 1 と 2) から始まる、アンドイエル作用と共鳴角 ϕ の進化を示しています。ゴールドバーグとバティギン (2024) と同じ方法を使用して、四元数座標で完全なオイラー剛体方程式を数値積分し、ブラックら (1995) (ボイジャー 2 号フライバイの場合) とハービソンら (2011) がカッシーニ観測に対して推定した 3 つの固有の慣性モーメントを組み込みました。また、破線で示す H1 3 の運動方程式も数値積分しました。ボイジャー 2 号の遭遇と最初のカッシーニ フライバイ中に観測された状態では ϕ が循環しているのに対し (左の 2 つの列)、他の 2 つのカッシーニ フライバイでは大きな振幅で振動していることがわかります (中央と右の列)。積分可能モデルは、初期条件に応じて、ϕ の秤動と循環の両方を正しく捉えます。さらに、H1 3 で保存される L と Λ′は、H ではわずかにしか変化しません。
完全なダイナミクスのいくつかの特徴は、積分可能モデルには存在しません。1 つには、H1 3 は、2 回目と 3 回目のカッシーニ フライバイの秤動周波数を過大評価します。これらの解は共鳴セパラトリックスのすぐ近くにあります。ここで、秤動周波数は、システムの状態に対するセパラトリックスの正確な位置に大きく依存します。真のセパラトリックスは、無視した項からの摂動により「呼吸」するため、解は周期的ではなく、実際には数十から数百の軌道の時間スケールで秤動と循環を交互に繰り返すことができます。さらに、アクションには高周波、低振幅の振動があります。 L の変化は、A と B の慣性モーメントの約 10% の差に関係しており、1 回転サイクル中に長軸の角速度が変化します (Deprit 1967)。Λ′
の変化は、主に残りの 6 つの高調波に高速項が存在することによるもので、より精巧な計算では、ほぼ恒等正準変換で説明できます。
これは重要です。
図 2 に示されている 3 回のカッシーニ フライバイ後の進化は重なり合っていることに注意することが重要です。各フライバイはわずか 2 周回しか離れていないため、Harbison ら (2011) が報告した状態は互いに一致していません。これは完全に無秩序な進化によるものではありません。Λ′はフライバイ 2 とフライバイ 3 の間では数百周回で進化できるものよりはるかに異なります。この不一致は Harbison ら (2011) によって指摘され、Hyperion の密度が低いということはかなりの空隙があるに違いないという見解を示しました。Hyperion の空隙が均一でない場合、形状モデルから推定される慣性モーメントは不正確になります。さらに重要なのは、真の主軸は楕円体軸と平行にならず、ωa、ωb、ωc の報告値は、慣性空間で適切に測定された ω の投影を間違った軸に表すため不正確になるということです。
Harbison ら (2011) は、真の主軸が本体軸に対してずれていることを許容することで、この問題に対処しようとしました。彼らは、主軸を本体軸からオイラー角 (θ
′, ϕ′, ψ′) = (40◦, 20◦, 10◦) だけ回転させると、3 回のカッシーニフライバイへの適合が大幅に改善されることを発見しました。この追加の変換による再計算された回転状態は、表 1 と 2 に示されています。これらの初期条件から始めて、完全ハミルトニアン H と積分可能な共鳴ハミルトニアン H^1 3を再度積分しました (図 3)。
これらの補正により、最初の 2 回のカッシーニのフライバイでは ϕ の明確な振動挙動が示され、最後のフライバイではセパラトリックスに非常に近い循環が示されます。推測ではありますが、この証拠は、ハイペリオンが実際に 3:1 章動軌道共鳴内にある可能性があることを示唆しています。もしこれが真実なら、この状態に進化したのは、急速に減衰する NPA 回転の潮汐応力による可能性が高い (Burns& Safronov 1973)
図 2. 4 回の宇宙船フライバイ (それぞれ t = 0 で発生) 後の、スケールされた Andoyer アクション (上段) と 3:1 章動軌道共鳴角 (下段) における Hyperion の回転状態の時間的変化。実線は、Hyperion の非軸対称性を含む完全回転モデル H の結果を示しています。積分可能な 1 自由度 (つまり、非カオス) ハミルトニアン H^1 3
の解は、同じ初期条件から積分されて、破線で示されています。アクション L と Λ′は H^1 3で保存されます。
6. 考察と結論
我々は、ハイペリオンのスピンダイナミクスの観測とシミュレーションの不一致を解決することを目指して、スピン軸の向きに制限を課さずに固定ケプラー軌道にある軸対称衛星のスピン軌道結合を調査しました。章動軌道共鳴の豊富なセットがあり、その一部は古典的なスピン軌道共鳴の明確な一般化であり、他のものは非主軸 (NPA) 回転がある場合にのみ出現することが分かりました。我々の分析は、ハイペリオンが無秩序に回転しているのではなく、3:1 章動軌道共鳴内またはその近くで急速に回転しており、その強さはハイペリオンの非球面性、軌道の離心率、および急速な長軸回転の組み合わせによって決まることを示しています。また、連星系小惑星の数値シミュレーション (Cuk et al. ´ 2021) で見られる、ほぼ同期したスピン状態と長軸ロールであるバレル不安定性は、実際には 2:2 章動軌道共鳴への捕捉であることも示しています。現実的な仮定の下では、面外回転と長軸ロールは持続する可能性があり、同期共鳴を破壊することはありません。さらに、これらの共鳴は、中程度の離心率と小惑星や小型惑星衛星に典型的な非球面性に対してかなり広くなる可能性があります。共鳴の重なりによって生成される大規模なカオスの海が頻繁に存在します。ハイペリオンの回転の数値シミュレーションで観察されるカオスは、これらの 1 自由度の共鳴の重なりによって説明でき、2 つの独立した運動の準積分は、数百の軌道の時間スケールでほぼ保存されます。このメカニズムは、Wisdom et al. によって提案された平面スピン軌道共鳴の重なりとは根本的に異なります。 (1984) は、スピン速度が軌道周波数の約 2 倍未満の場合にのみ発生します。実際、既知のスピン速度が軌道周波数の 4 ～ 5 倍である場合、ハイペリオンは、保存された KAM トーラスの領域 (および Wisdom ら (1984) の図 2 の頂点より上) にあるため、平面スピン軌道共鳴の枠組みではカオスになりません。ハイペリオンの回転状態を正確に制限し、存在するカオスの程度 (存在する場合) を判断するには、より詳細な観察が必要です。また、平均化されていない軸対称ハミルトニアンの長期的変化も研究しました。数百から数万の軌道にわたって、システムは急速なカオスの領域と非常に規則的な動作の領域を交互に繰り返します。後者は、しばしば共鳴への一時的な捕捉を伴います。さらに、ハイペリオンの特定のパラメータでは、最も強力な共鳴が Λ − 2G を保存し、その結果、時間スケールの大きな分離が生じます。つまり、準積分 Λ − 2G の緩やかな拡散に加えて、近くの章動軌道の重なりによる急速なカオスが発生します。文献における準規則状態と完全カオス状態の融合は、スピンの角速度と方向角のみの検討から生じていることを、ある程度強調したいと思います。代わりに、多くの場合、角運動量の単位を持つ Andoyer アクションは、はるかに規則的な動作をします。たとえば、平面スピン軌道共鳴を直接一般化した Hˆ 2 では、傾斜角 I は保存されません。ただし、軌道面からの回転の大きさも表す関連量 Λ′ = G(cosI − 1) は保存されます。高速回転角を平均化できる「永年」領域では、G 自体が保存され、区別は消えます。
私たちの研究はいくつかの方法で拡張できます。軸対称性の仮定を緩和して、たとえば、Black ら (1995) のシミュレーションで最初に確認されたハイペリオンのカオス的タンブリングや長軸スピンアップを適切にモデル化できます。H˜ の 7 つの調和関数 (それぞれが e の無限級数である) とは対照的に、3 軸ハミルトニアン H には 23 の調和関数があります。特に低離心率またはほぼ球形の限界でのカオス的タンブリングの開始などの定性的な特徴の推定値を取得するために、いくつかの近似を適用できると考えられます。また、衛星のスピンが軌道に結合することも無視しました。これは、小惑星連星にとって特に重要な効果です (Fahnestock & Scheeres 2008)。原理的には、ハミルトニアンにケプラー項を追加することでこれを含めることができます (例: Boué & Laskar 2009)。
私たちが無視してきた最も重要な効果は、非保存力、特に潮汐散逸と放射力の影響です。実際には、回転が最大慣性モーメントの軸と一致していない物体は、内部応力を受け、エネルギーを散逸します (Efroimsky 2000)。散逸率は、回転速度と章動角 J に敏感に依存しますが、非常に急速になることがあります (Burns & Safronov 1973; Frouard & Efroimsky 2018; Quillen et al. 2019)。数値シミュレーションで使用される最も単純なウォブル減衰の処方 (力が常に物体を最大慣性モーメントの軸上で回転させる) が、この処方で十分であるかどうかは明らかではありません。
この場合、nertia (例: Meyer et al. 2023) などのモデルが適用可能です。Quillen et al. (2022) の粘弾性シミュレーションは、章動軌道共鳴への捕捉を示しているように見えますが、捕捉後も NPA 回転が長寿命である可能性があることを示唆しています。放射力も、BYORP 効果 (Cuk & Burns ´ 2005) を通じて衛星のスピン状態と軌道の両方を変更できる別の角運動量源を提供するため、重要です。これらの共鳴の捕捉と脱出の両方における潮汐力と放射力の役割を評価するには包括的な研究が必要ですが、この記事で行われた作業は、より洗練されたモデルを開発できるハミルトンのフレームワークを提供します。最後に、潮汐散逸は、Hyperion の予期しない回転状態の起源を理解する鍵となる可能性があります。長軸回転は、固定角運動量を仮定すると、最大エネルギー構成であり、したがって散逸により最短軸上で回転するはずです。ただし、共鳴固定点は、一般的に散逸力学系におけるアトラクターとして機能します。これら 2 つの競合する効果の正確な相互作用は明らかではありません。ハイペリオンの場合、その軌道離心率は、タイタンとの平均運動共鳴により 2 つの時間スケールで変化するという事実によって複雑になっています。共鳴秤動周期での 2 年間の振動 (Duriez & Vienne
1997) と、タイタンの外向きの移動による緩やかな成長 (Colombo et al. 1974) です。逆に、ハイペリオン自身の急速な NPA 回転は、離心率を低下させる働きをします (Goldberg & Batygin 2024)。これらの離心率の変化は、回転状態の変化として現れます。つまり、離心率が高い場合、通常の領域が混沌とした海に融合し、その逆も起こります。 1 つの可能性は、潮汐散逸によってハイペリオンが規則的または準規則的な回転状態になり、散逸が小さくなることです。その後、その離心率は最終的に大きくなり、ハイペリオンが位置する共鳴島が消え、混沌とした回転を強いられます。その結果生じる NPA 回転によって離心率が減衰し、最終的に共鳴島に捕獲されます。このシナリオを適切に調査するには、軌道とスピンの結合 (この研究の主題)、スピンと軌道の結合、およびスピンに依存する潮汐散逸の取り扱いが必要になります。
図 3. 図 2 と同じカッシーニのフライバイですが、初期条件が変更され、最も適合する楕円体形状モデルの軸に対するハイペリオンの主回転軸のずれの推定が組み込まれています (Harbison ら、2011)。
図 4. カッシーニ フライバイ 2 の L 値と Λ
′ 値を使用したハミルトニアン Hˆ 1 の断面の表面。主要な章動軌道共鳴の周りの秤動解は青でプロットされ、二次共鳴は灰色で示されています。大きな混沌とした海 (紫) が 3:1 共鳴を囲み、より小さな混沌とした分離線が 4:1 を囲んでいます。高速スピン レートでは、多くの不変トーラスが保存されます (黒)。
′ 値を使用したハミルトニアン Hˆ 1 の断面の表面。主要な章動軌道共鳴の周りの秤動解は青でプロットされ、二次共鳴は灰色で示されています。大きな混沌とした海 (紫) が 3:1 共鳴を囲み、より小さな混沌とした分離線が 4:1 を囲んでいます。高速スピン レートでは、多くの不変トーラスが保存されます (黒)。
図 5. 表 2 の初期条件に対する有限時間最大リアプノフ指数 (FT-MLE)。Hˆ 1
(左列) と H˜(右列) の流れの下で積分。上段は Black ら (1995) と Harbison ら (2011) が報告した初期条件を使用しており、見かけの体軸と主軸のずれは調整されていません。下段は、Harbison ら (2011) によるカッシーニのフライバイの推定ずれを組み込んでいます。ずれ補正なしの 3 回のカッシーニのフライバイは、両方のハミルトニアンで明らかに正の FT-MLE を持ちますが、補正されたカッシーニのフライバイは小さいかゼロの FT-MLE と一致しています。ボイジャー 2 のフライバイは H˜の下でのみカオスです。
(左列) と H˜(右列) の流れの下で積分。上段は Black ら (1995) と Harbison ら (2011) が報告した初期条件を使用しており、見かけの体軸と主軸のずれは調整されていません。下段は、Harbison ら (2011) によるカッシーニのフライバイの推定ずれを組み込んでいます。ずれ補正なしの 3 回のカッシーニのフライバイは、両方のハミルトニアンで明らかに正の FT-MLE を持ちますが、補正されたカッシーニのフライバイは小さいかゼロの FT-MLE と一致しています。ボイジャー 2 のフライバイは H˜の下でのみカオスです。
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