自己言及を含まないゲーデル命題についての考察

自己言及を避けたゲーデル命題というのが世の中にはございまして、

Ｇ「を，二度繰り返すは証明できない」

￢Ｇ「を，二度繰り返すは証明できる」

やはり、自己言及命題特有の難点というのは認識されていたらしく、敵もサルもの引っかくものなのですが、数学命題の無矛盾性を証明できない方が数学の無矛盾性とはこれいかに、さて、どうしたものでしょうか？

Ｇ「の，同義反復は証明できない」

￢Ｇ「の，同義反復は証明できる」

数学の証明において、同じ命題が二度繰り返して出てくるというのは悪循環を意味しており、証明になりませんが、ご存じの通りに論理学では命題の同義反復は無矛盾性の証明そのものです。任意の数学命題Ｘについて、その無矛盾性が証明できない事こそ数学の無矛盾性だとは不完全性定理の面目躍如ですけど、この場合はどうしてそれが言えるのでしょうか？

Ｇ「任意の数学命題の無矛盾性は証明できない」

￢Ｇ「任意の数学命題の無矛盾性は証明できる」

￢Ｇが証明できたと仮定しますとすべての数学命題の無矛盾性が証明できると同時に矛盾も証明されます。なんとならば任意の数学命題ＸについてＸ⇒Ｘであると同時に￢Ｘ⇒￢Ｘだからです。数学体系の中に証明された命題としてＸと同時に￢Ｘも含まれていることになります。そしてＸは任意の数学命題ですからこの数学体系はあらゆる矛盾を内包してしまいますｗ）

ここから先はちと苦しくて、やはり￢Ｇが矛盾性であることからＧの無矛盾性が出てきてしまいます・・。

だけどだからこそこれでほぼ証明なんですから文句は言わないでおくとして、それでも￢Ｇは数学命題のすべてが矛盾して証明されるわけです。それに対してＧはあらゆる数学命題の無矛盾性が証明できないで終わります、こんなのアリでしょうか？




で、確かに結果はよく似た形になってきますけれども、これでゲーデルの証明したとされる不完全性定理と同じなのでしょうか、なんとも釈然としない結果ですよねｗ）