定式 φ＝｛φ｝＝（|０〉＋|１〉）／√2 と ユニバーサルフロンティア公理の数学 （４）

「たった一つの矛盾が全域におよぶ」とはよく聞く警句であるが、果たして本当にそうなのだろうか？

かりに￢Ｇ「数学体系は任意の数学命題の無矛盾性を演繹的に証明することができる」を仮定すると、私の設定においては￢Ｇ「Ｇは証明できる」は非自明（Ｇが任意の数学命題の無矛盾性と同値だということは証明できておらない）ので、ようするにこのままでゲーデル命題を名乗り続けるのは奇妙なのである。それでゲーデルの定式と設定に立ち返ってみると（いつもの計算の如く）「￢Ｇを仮定するとＧが証明できてＧ⇒￢Ｇである」ここで￢Ｇ⇒￢Ｇという論理学公理を用いれば￢Ｇ⇒Ｇ∧￢Ｇと確かに矛盾が導かれる。また、誤りだと指摘しておいてなんだが「ゲーデル命題は数学の無矛盾性と同値」というのも一時的に信じて用いてみるとしよう。私の定式によれば￢Ｇは数学体系内のすべての命題に関する無矛盾性に広くかかわってゆくので、また数学の循環すると証明できない解き方などの現実と照らし合わせて、その両方で広くあまねく数学命題の矛盾性と無矛盾性の両方を証明してしまうことは確かである。

ゆえに￢Ｇを「数学体系の矛盾性」と言って良いだろうから、ここにＧは「数学体系の無矛盾性」だと判明したといえる・・。

私がやったゲーデル命題の定式もまたゲーデルと同値だということのようだ！

しかし、Ｇの自明性が大きく異なり￢Ｇはすぐに反証されるから命題ではない、とすると「数学が矛盾しているから全命題の矛盾が導かれるという可能性は皆無」だということで、自慢してよければそこの明晰さがゲーデル証明にはなくて私のユニバーサルフロンティア数学にはあると誇っておくとする。

「個々の数学命題の無矛盾性を一切証明できないこと自体が数学体系の無矛盾性であり、さらに自明」だというのが私が開発した論証の長所だｗ）

しかしゲーデルの落ち度はもっと別のところで障害を起こしておりその傷は大きく深いとしか言いようがない。なぜならばゲーデルにとっての数学の不完全性とは、第二定理を証明していく途中でゲーデル命題と数学の無矛盾性の同値性を証明してしまって、むしろその理由で数学上の定理の証明可能性にとって無意味な物に終わることが確定したことだ。数学命題のうちで証明できないことが不完全性定理によって示されたのは数学の無矛盾性そのものだけ、だからである。数学における証明の規則、および循環してしまうと証明できないという日常経験、などによって「￢Ｇは間違いでＧが正しい」ことは自明だからである。演繹的に証明できなくても命題それ自身が自明で正しいという特別な例だが、この場合にはそんなことは何も良いことじゃない。なんらの苦労を経ることなくゲーデル命題それ自身の持つ自明性によって数学体系は無矛盾だなんて何か変ではありませんか？

　Ｇ「数学体系は任意の数学命題の無矛盾性を演繹的に証明することができない」（これは数学体系の無矛盾性と同値である）

　￢Ｇ「数学体系は任意の数学命題の無矛盾性を演繹的に証明することができる」（これは数学体系の矛盾性と同値である）

《証明》

￢Ｇを仮定すると数学体系の無矛盾性が証明されるからＧ

￢Ｇ⇒ＧよりＧが証明された

論理規則より￢Ｇ⇒￢Ｇだから合わせてＧ∧￢Ｇ

この矛盾は￢Ｇを仮定したことに起因しているから￢（￢Ｇ）⇔Ｇ

以上の証明は演繹的ではないから命題Ｇの定義とは矛盾しない

このようにゲーデル自身による不完全性定理よりも完璧に表現されるが、読者諸賢にとっては同値性が無茶苦茶だと感じられる場合が多いだろうとお察しするｗ）

なにしろ数学の無矛盾性は演繹的にでなければ証明できないわけじゃなく、しかも「数学の無矛盾性は任意の数学命題の無矛盾性が演繹的には証明できないことと同値だ」というのだからね？





こりゃ嘘である、絶対どこかにトリックがある、私は労せずして数学の無矛盾性を証明したことになってしまったぞ・・。