定式 φ＝｛φ｝＝（|０〉＋|１〉）／√2 と ユニバーサルフロンティア公理の数学 （３）

ペアノ公理が成り立つ自然数体系ｎより数列Ａn＝ｎを与える。これはさまざまな数列から同一物を選ぶという恒等変換にも似た措置だと考えていい。

１）ｎ＝１ならばＡn＝１であり、

２）ｎ＝ｋの時にＡn＝ｋであると仮定すると

３）ｎ＝ｋ＋１の時にＡn＝ｋ＋１が成立する。

４）１）～３）より　ペアノ公理が成り立つ数論からペアノ公理が導かれた。

５）自然数論においては「ペアノ公理」⇒「ペアノ公理」が成立しており無矛盾である。

これは強引というよりはナンセンスを疑われるかもしれないが、ペアノ公理が成り立つ数体系から一部を取り出して同一物を構成しているのだからこれで証明になっており、例えば実数公理ではこれが出来ないので難解なことになっている。また、ＡはＡで￢Ａは￢Ａだというだけでは数学は矛盾していることにはならない。数学命題の形をしているだけならばどちらも対等で結構、という訳だが、そこからＡが真だとしたら￢Ａは偽だとかその逆だとかの真理値の話に変わっていくこともできるのでそれがタルスキによる不完全性定理の言い替えである。さて、実数連続体に対するカントールの非可算性の証明を用いて「実数の不連続性」「超準解析の必然性」にまで導くことが可能である。その前にレンマとして「反証される文章は命題ではない」を証明できる。

Ａ⇒￢Ａ
⇔
￢Ａ∨￢Ａ
⇔
￢Ａ

Ａ⇒Ａが公理であれば￢Ａ⇒￢Ａは定理であり、Ａ⇒￢ＡであるならばＡは命題ではない。このように言えるのだからタルスキの真理性への拘りは蛇足とすら言え、論理学の世界では反証することによって相手を無にしていくことができるということのようだ。Ａと￢Ａとが両方が命題である中で論証を行って、反証されることが出てきたら、片方が命題でなくなることによってどちらが真であるか分かる。

実数連続体に可算性Ｐを仮定すると

対角線論法によって￢Ｐが証明される。

Ｐ⇒￢Ｐ　∴￢Ｐ

然るに定義される実数は高々可算濃度であるので実数連続体とされた数直線は実数だけの集合ではない！

以上より「超準解析の必然性」を得ることが出来たｗ）

対角線論法を正当な証明と見なさずに、ωを１として数え直すと超現順序数が出てくると発想した人はおそらくゲンツェンなのであったが、ひょっとして論理規則というのは極めて厳格に排中律が守られており、カントールこそそのままで純粋で完全な証明だったという説に私は賛成なのであるｗ）

というか、実際に幾つの時分だったか数学セミナー誌に「私はガロアは真の天才ではないとする説があったとしたらそれを信じる」「カントールがそのままで純粋に正しいという可能性も残されている」という自説を送ってある・・。

20歳代だったと思う！