背理法を使わない数学体系は不完全であり背理法を使う数学体系は矛盾を含む、のかな

ゲーデルの論証は命題の証明可能性に終始しているので￢Ｇを仮定するということはしないですよね？

￢Ｇを仮定するのじゃなくて「￢Ｇが証明できる」ということを仮定するんでしたね・・。

そこをあえて、というか、こっちとしたら何故そうしないのかという思いで￢Ｇを仮定したのですよ。そしたらね、思った通りにＧ∧￢Ｇが出てきちゃうじゃありませんか。つまり、矛盾が導かれてしまうと、いうことでね、矛盾が導かれてしまったら背理法によって前提として仮定した￢Ｇを否定しなければなりませんから、そしたらＧが証明されたと、そういうわけ。証明されない命題であるはずのＧが証明されてしまったと、そういうわけですけど、背理法ですから私の定義した『完全排中律』を使った話であるわけですがな。

ということは、数学に灰色命題が存在したら矛盾する方法を使ったというワケですよｗ

背理法を使った数学体系は無矛盾体系ではないと判定されますでしょう、そこですよ！

決定不能命題を含んだ数学体系は背理法を使って論証したら矛盾します。決定不能命題Ｚを仮定したり、その否定命題￢Ｚを仮定した場合に、どちらの場合にでも矛盾が導かれることが予想されます。背理法は完全排中律「黒でないならば白であり白でないならば黒である」を使った論法ですから、もし命題Ｚが決定不能である場合には矛盾を証明してしまうことになるでしょう。すなわちゲーデルの言う無矛盾な数学体系とは背理法を含まない数学体系だったということであり、背理法によってゲーデル命題が証明されても、それは不完全性定理の反例ではないというワケですがな。

（いや、そんなことが無くても背理法は無矛盾体系ではないとなら言えるのではないか、んー、ここはまーいーですｗ）

￢Ｇを仮定する

Ｇ∧￢Ｇが導かれて矛盾する

ゆえにＧ　　　　　　　　　　　（形式的な背理法はここまででＧの証明）

これではＧが証明されたことになるので￢Ｇ

Ｇ∧￢Ｇが証明された
・
・
・
どこまでも矛盾しか出てこないｗ

こんなの数学の矛盾性というよりは￢Ｇの矛盾性ですがね？

（ま、完全排中律を使う背理法によって決定不能のＧが矛盾して証明されるわけだがね・・）
（んー、二重否定は肯定といったことによって両方使ったことになるか、あ～あ！）

「背理法とか二重否定とか完全排中律を使わない純粋な公理からの演繹によって証明される数学体系は不完全である」当たり前かｗ




んー、ちょっと苦しいか、Ｇを仮定したって矛盾なんかしないもんなあー、ま、こんな感じになる話ですわ( ´艸｀)ノ☆彡