現代数学はエルランゲン・プログラムと心中状態ではないか（２）

ようするに射影平面を基本としていく射影幾何というのは風流に過ぎて実用性能が低いのではないかという疑念であった！

　目の高さで平行線を眺めると、遠近法的に先が直線的に窄（すぼ）まりながら、最終的には地平線の彼方（かなた）では一点で交わるように見えますが、その見かけどおりに空間があるのだと仮定した、というストーリが射影幾何学の第一歩です。キャンバスに地平線を画（えが）けば確かに直線になりますし、その位置は無限遠方だと考えられますから、ま、無限遠直線と銘打ったとしても自然なことかもしれません。しかし、実際には、パノラマのように視点を回転させれば、地平線はガウスやボリアイが指摘したようなトローペ（無限大半径の円：ホロサイクル）に見えているはずです。

クラインの頭では「地平線がパノラマになるのも地球が丸いからだ」と考えられたのでしょうか、少しばかり気にかかります・・。

　ということは無限遠直線なるものはトローペで置きかえて良いとするリーマン幾何学だけが唯一無二の正しい幾何構造をしているという私の意見を合理化していく根拠がまた増えたということです。ご承知のようにリーマン幾何はアインシュタインによって一般相対性理論として理論物理学にまで高められました。一般相対性理論の幾何構造は、曲率をすべての場合分けに対応すべく一般化されておりますので、エルランゲンプログラムによって楕円幾何・双曲幾何・放物幾何と三種類に分けたような話を超越しております。かつてアインシュタインの歴史的評価に対して攻撃を加えられた折に“数学者としては並（なみ）”という評言があったのですが暴論だったことになります。

アインシュタインは20世紀最大かつ最高の天才でありクラインを超える幾何学の第一人者であった・・。

正しい評価を書き下せるというのは気持ちのいいものです。

それでは下に
【ＵＦＴによる超準解析学の基礎的部分】
を述べて終わりにしましょう！


１）標準的な自然数よりも真に大である最小の非標準的な自然数をωとする。

２）超自然数列は｛ω・ω＋１・ω＋２・・・｝

３）ω＋１などは標準的でペアノ公理的な超自然数であり、ω－１やω/２などは標準的で非ペアノ公理的な超自然数である。

４）φ＝（｜０＞＋｜１＞）/√２は非標準的で非ペアノ公理的な唯一の自然数である。

５）φωなどは非標準的であってもちろん非ペアノ公理的な超自然数である。

６）ω^2をはじめω^ωなども標準的でペアノ公理的な超自然数であり可算。

７）２^ωなどは非標準的な超自然数であるので非可算。

８）２^ω＜ω^ωより実数の可算性が導かれるがペアノ公理的な手段では証明されません！

９）＠＝0,00…01＝１/ｎ^ωは最小の標準的な無限小。

10）φ＠は最小の非標準的な無限小。

11）ｎ^φω・＠は非標準的な最大の無限小・・、になるかな？


最後だけ歯切れが悪いが今日のところはここまでだ・・。