微分解析学の応用技法について（第二回）

では、この運動の解析から始まった《山野の不確定》ΔｐΔｔ＝２Ｄｍを使って加速運動を構成的に再現できるかどうか試してみましょうか。それでは、モチーフとしてｘ＝ｆ(ｔ)＝ｔ^2の単純な加速運動を調べてみましょうｗ）

１）区間［－１,１］において

ふだん見慣れたｙ＝ｘ^2のグラフを思い出しながら考えていただきたい。ここではＤ＝１ですから、ｔ＝－１と比べてｔ＝０では、直線ｘ＝１から２Ｄ＝２だけ下った（０,－１）にまで後ずさりし、この線分の傾きはｘ＝ｆ(ｔ)の接線と一致している。そこから同じく２Ｄだけ登って１進んだ（１,１）でも、傾きは２になるので、ｘ＝ｔ^2のグラフ上における接戦と一致する。

２）区間［１,３］において

グラフ上の２点、（１,１）と（３,９）の中点は（２,５）であり、ｔ＝２でｔ^2＝４であることから先ほどと同じくＤ＝１である。なお、Ｄの値は運動を表す関数が共通しておれば変化しない。中点から２Ｄ＝２だけ下った点は（２,３）そこから（１,１）と（３,９）へ線を引いた場合の傾きは、１）の場合と同じく関数の接線と一致する。

ここから場所をどこへ移動しても、区間の幅を任意に変更しても、元が運動の解析から始めたことだからか、どのような場合においても、両端における速度は接線速度と一致する。

このことは数学としたら綺麗なのだが物理過程とすると問題がある・・・。

まず最初に「行って帰ってくる」ということに関して、ΔｐΔｔが質量はともかくとして距離に比例する性質を持っておればこそ、それでこそ可能なのだが、如何せん「後ろ向きの速度を持ってしまうと座標が変わってしまう」「異なる慣性系から始め直さなければならなくなる」ということがある。結局のところ「後ずさりして動かない、後ずさりして動かない、and so on」を繰り返すのみになるのが物理過程という物だ。

そのことはフォトンをストリングとして捉えると上手く行くのであったｗ）

前からくるフォトンによって電子は後ろ向きの運動量を与えられて交代する、が、フォトンには長さがあるので与えられる運動量は漸次的に減少していって、フォトンの中心部を通るところでは０になってしまう。これは、ほとんど線型的な変化なので、フォトンが実際に与える運動量変化は「フォトンが点であるとした時の半分となる」ということが言えるわけだ。そのことは《山野の不確定》の右辺をＤｍに変えるだろうし、二次関数近似として、その間に物体粒子の運動を記録したグラフは折れ線ではなくなって、ほとんど厳密解に近づくだろう。

さて、これで完ぺきかと言うと、それまたそーではない！

厳密にｘ＝ｔ^2を原点付近において描き得たグラフが今度はすぐに外れて行ってしまうのである・・・。

結局のところ、ｘ＝ｔ^2のグラフを再現するはずだった物理過程は「同じ二次関数でもかなり横に広がった比例定数の小さなグラフになってしまうこ」とが判明したのである。つまり、素反応としたらｘ＝ｔ^2のはずの物理過程が、全体としたらｘ＝ａｔ^2（０＜ａ＜１）になってしまう、ということなのだ？

（これは私ひとりの研究にするのはもったいない限りだ）