今回はフーリエ解析に付いて少しお話しします。
判った様な口ぶりで書いていますが、実は余り詳しくありません。
いや、余りじゃ無くて全く解っていません。
でも雑学程度なら・・・・
フーリエ(Fourier)はフランス生まれの数学者、物理学者で男爵の称号をお持ち、
ナポレオンのエジプト遠征に科学顧問として同行するなどしました。
彼は幼少期に事故で父親を亡くし修道院で初等教育を受けた後、
陸軍学校を経て国立教員養成校の一期生となりました。
成績優秀で有った彼は養成校で教鞭を取る傍ら研究にも力を注ぎ、
パリの科学アカデミーが出した「熱伝導に関する法則」に付いての懸賞問題に応募した論文の中に、
フーリエ変換の基本的な概念が述べられています。
・・・・
な～んだ! お決まりのお話しねと思った方、
この程度の雑学を知っておくのも良いかと思いますよ～ だ!
雑学でも「365日分の差は大きい !」
・・・・某経済紙電子版のCMで聞いたような?
詳しくは科学史の書籍や大学の基礎教養研究室がアップするサイトを参考にして下さいネ。
フーリエ解析とユニフォーミティ測定にはどの様な関係があるのでしょうか?
タイヤ編(2)でもユニフォーミティに付いて少し触れていますが、
タイヤ・ホイールAssyは質量アンバランスの他にタイヤが持つ剛性のバラツキが有ります。
その剛性のバラツキを数値で明らかにするのに必要な基礎的解析方法がフーリエ解析なのです。
*振動や音波等の測定では高速フーリエ変換(FFT)が使われます。
フーリエ問題では、フーリエ級数、フーリエ級数展開、フーリエ変換、逆フーリエ変換、フーリエ解析等の単語が出てきます。
色々有りすぎて何だか良く判らないと仰る方、多いと思います。
私もその一人ですが、簡単に説明するとこの様になります。
フーリエ級数とは、様々な関数f (x) は三角関数のcos (x)とsin (x)との和によって近似関数として表す事ができる数式です。
但し、関数f (x)は連続な周期、例えば 0 ≦ x ≦ 2π や -π ≦ x ≦ π 等でなければなりません。
フーリエ級数を式で表すと下記の様になります。
式を簡単に表現するため数学記号Σ(シグマ)を使ってまとめた式が①となります。
* 数学記号Σ(シグマ)は全ての足し算をひとまとめにした総和を表します。
フーリエ級数の式で、⅟₂aₒ は周期的な波形の直流成分を表します。
ユニフォーミティ測定では、概念的にタイヤ・ホイールAssyに加圧する荷重に相当し、
高速回転の場合は、タイヤ内圧上昇に伴う荷重増加も含まれます。
よって、数分間の高速回転を維持しタイヤ内圧が安定してから測定を開始しするのが一般的です。
⅟₂aₒより後ろの数式は交流成分を表します。
概念的にはタイヤ・ホイールAssyが回転する事で発生する力の変動を表します。
波形は山波形と谷波形が連続し回転数が上昇するに連れて力の変動も大きくなります。
nは整数( 1,2,3・・・∞ ) で、nxは周期0→2πの範囲内での周波数を表します。
例えば n = 1 の場合、a₁ cos x + b₁ sin x の数式は基本波成分(1次成分)を表し、
n = 2 の場合、a₂ cos2 x + b₂ sin2 x の数式は2次高調波成分(2次成分)を、
n = 3 の場合、a₃ cos3 x + b₃ sin3 x の数式は3次高調波成分(3次成分)を、
・
・
n = 10 の場合、a₁₀ cos10 x + b₁₀ sin10 x の数式は10次高調波成分(10次成分)を表します。
・
・
n=∞
式の中で、a₀、an、bnと有るのがフーリエ係数と呼ばれるものです。
係数a₀は波形全体の上下位置を、係数anとbnは振幅を決めるものです。
フーリエ係数を式で表すと下記の様になります。
フーリエ係数を求めるには「関数の直交性」や「三角関数の積和の公式」等を基にして求めなければなりません。
参考程度ですが「関数の直交性」に付いての確認計算を下記に示します。
次にフーリエ係数を求めます。
フーリエ係数anは、式①の両辺にcos(mx)を掛けて0→2πで積分して求めます。
フーリエ係数a₀を求めます。
この場合は、式①の両辺を単純に0→2πで積分して求めます。
フーリエ係数bnを求めます。
フーリエ係数bnは、式①の両辺にsin(mx)を掛けて0→2πで積分して求めます。
最後にフーリエ級数とは、様々な関数f (x) は三角関数のcos (x)とsin (x)との和によって近似関数として表す事ができると言うものでした。
式は周波数成分毎にまとめられ無限和で表される事から、逆に言えば周波数成分毎に分けて(展開して)考えて行くこと事が出来ます。
これをフーリエ級数展開と言います。
フーリエ級数展開をして、フーリエ係数から振幅と位相を求める事をフーリエ変換と言い、
逆に、振幅と位相から元の波形を求める事を逆フーリエ変換と言います。
また各周波数成分がどのぐらいの強さで構成されてるかを計算したものを周波数スペクトル又は、スペクトルと言い、
フーリエ変換でその違いを調べる事をフーリエ解析と言います。
最後は叩き込む様に書いてしまいましたが、
詳しくは解析学などの書籍や大学の基礎教養室がアップするサイトを参考にして下さい。
長々とお話ししたフーリエ解析ですが、実際の解析ではコンピューターを使う為、
データ容量を無制限に使う事が出来ないので離散的なデータに対する解析手法が取られています。
その一つが離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)、通称DFT変換です。
もう一つがDFT変換を効率良く計算する手法が高速フーリエ変換(Fast Fourier transform)、通称FFT変換です。
今回はここまでとします。
記載した内容に間違い等ございましたらご教示頂けると幸いです。
判った様な口ぶりで書いていますが、実は余り詳しくありません。
いや、余りじゃ無くて全く解っていません。
でも雑学程度なら・・・・
フーリエ(Fourier)はフランス生まれの数学者、物理学者で男爵の称号をお持ち、
ナポレオンのエジプト遠征に科学顧問として同行するなどしました。
彼は幼少期に事故で父親を亡くし修道院で初等教育を受けた後、
陸軍学校を経て国立教員養成校の一期生となりました。
成績優秀で有った彼は養成校で教鞭を取る傍ら研究にも力を注ぎ、
パリの科学アカデミーが出した「熱伝導に関する法則」に付いての懸賞問題に応募した論文の中に、
フーリエ変換の基本的な概念が述べられています。
・・・・
な～んだ! お決まりのお話しねと思った方、
この程度の雑学を知っておくのも良いかと思いますよ～ だ!
雑学でも「365日分の差は大きい !」
・・・・某経済紙電子版のCMで聞いたような?
詳しくは科学史の書籍や大学の基礎教養研究室がアップするサイトを参考にして下さいネ。
フーリエ解析とユニフォーミティ測定にはどの様な関係があるのでしょうか?
タイヤ編(2)でもユニフォーミティに付いて少し触れていますが、
タイヤ・ホイールAssyは質量アンバランスの他にタイヤが持つ剛性のバラツキが有ります。
その剛性のバラツキを数値で明らかにするのに必要な基礎的解析方法がフーリエ解析なのです。
*振動や音波等の測定では高速フーリエ変換(FFT)が使われます。
フーリエ問題では、フーリエ級数、フーリエ級数展開、フーリエ変換、逆フーリエ変換、フーリエ解析等の単語が出てきます。
色々有りすぎて何だか良く判らないと仰る方、多いと思います。
私もその一人ですが、簡単に説明するとこの様になります。
フーリエ級数とは、様々な関数f (x) は三角関数のcos (x)とsin (x)との和によって近似関数として表す事ができる数式です。
但し、関数f (x)は連続な周期、例えば 0 ≦ x ≦ 2π や -π ≦ x ≦ π 等でなければなりません。
フーリエ級数を式で表すと下記の様になります。
式を簡単に表現するため数学記号Σ(シグマ)を使ってまとめた式が①となります。
* 数学記号Σ(シグマ)は全ての足し算をひとまとめにした総和を表します。
フーリエ級数の式で、⅟₂aₒ は周期的な波形の直流成分を表します。
ユニフォーミティ測定では、概念的にタイヤ・ホイールAssyに加圧する荷重に相当し、
高速回転の場合は、タイヤ内圧上昇に伴う荷重増加も含まれます。
よって、数分間の高速回転を維持しタイヤ内圧が安定してから測定を開始しするのが一般的です。
⅟₂aₒより後ろの数式は交流成分を表します。
概念的にはタイヤ・ホイールAssyが回転する事で発生する力の変動を表します。
波形は山波形と谷波形が連続し回転数が上昇するに連れて力の変動も大きくなります。
nは整数( 1,2,3・・・∞ ) で、nxは周期0→2πの範囲内での周波数を表します。
例えば n = 1 の場合、a₁ cos x + b₁ sin x の数式は基本波成分(1次成分)を表し、
n = 2 の場合、a₂ cos2 x + b₂ sin2 x の数式は2次高調波成分(2次成分)を、
n = 3 の場合、a₃ cos3 x + b₃ sin3 x の数式は3次高調波成分(3次成分)を、
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n = 10 の場合、a₁₀ cos10 x + b₁₀ sin10 x の数式は10次高調波成分(10次成分)を表します。
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n=∞
式の中で、a₀、an、bnと有るのがフーリエ係数と呼ばれるものです。
係数a₀は波形全体の上下位置を、係数anとbnは振幅を決めるものです。
フーリエ係数を式で表すと下記の様になります。
フーリエ係数を求めるには「関数の直交性」や「三角関数の積和の公式」等を基にして求めなければなりません。
参考程度ですが「関数の直交性」に付いての確認計算を下記に示します。
次にフーリエ係数を求めます。
フーリエ係数anは、式①の両辺にcos(mx)を掛けて0→2πで積分して求めます。
フーリエ係数a₀を求めます。
この場合は、式①の両辺を単純に0→2πで積分して求めます。
フーリエ係数bnを求めます。
フーリエ係数bnは、式①の両辺にsin(mx)を掛けて0→2πで積分して求めます。
最後にフーリエ級数とは、様々な関数f (x) は三角関数のcos (x)とsin (x)との和によって近似関数として表す事ができると言うものでした。
式は周波数成分毎にまとめられ無限和で表される事から、逆に言えば周波数成分毎に分けて(展開して)考えて行くこと事が出来ます。
これをフーリエ級数展開と言います。
フーリエ級数展開をして、フーリエ係数から振幅と位相を求める事をフーリエ変換と言い、
逆に、振幅と位相から元の波形を求める事を逆フーリエ変換と言います。
また各周波数成分がどのぐらいの強さで構成されてるかを計算したものを周波数スペクトル又は、スペクトルと言い、
フーリエ変換でその違いを調べる事をフーリエ解析と言います。
最後は叩き込む様に書いてしまいましたが、
詳しくは解析学などの書籍や大学の基礎教養室がアップするサイトを参考にして下さい。
長々とお話ししたフーリエ解析ですが、実際の解析ではコンピューターを使う為、
データ容量を無制限に使う事が出来ないので離散的なデータに対する解析手法が取られています。
その一つが離散フーリエ変換(Discrete Fourier Transform)、通称DFT変換です。
もう一つがDFT変換を効率良く計算する手法が高速フーリエ変換(Fast Fourier transform)、通称FFT変換です。
今回はここまでとします。
記載した内容に間違い等ございましたらご教示頂けると幸いです。
