最近見始めた番組に「笑わない数学」（NHK総合）がある。これが実に面白い。先日は破られない暗号を考え出した数学者の話だった。で、今日見たのは確率の話。あまりに面白かったのでメモ代わりに残しておく。
17世紀、パスカルとフェルマーの間でこんなやり取りが行われた。
AとBとの間でコインを投げて裏か表を当てる５回戦のゲームをした。先に３勝したほうが勝ちで、賭けたお金を全部もらう。３回終わったところでAの２勝１敗。もしここで賭けたお金を分配するとしたら、どのように分配するのが合理的か。
この問題は次のように考える。
４回目にAの勝つ確率は２分の１。もしAが勝てばここで試合終了である。
一方、Bが４回目に勝つ確率は２分の１。さらに５回目、Bが勝つ確率は２分の１。したがってBが２回とも勝つ確率は４分の１で、４回目に勝って５回目に負ける確率も４分の１である。
したがって、Aが勝つ確率は２分の１と４分の１を合計した４分の３となる。（もちろん、１からBが２回とも勝つ確率４分の１を引いてもよい）。これを図に表すと、
となる。
続いてもう１問。
ABC３つの箱の中にお宝が一つ入っている。今、あなたがそのうちのAを選んだとする。ここで、どれにお宝が入っているかを知っているボクは、入っていない一つ（例えばB）を開けて見せる。
ここで、再度問う。もし今、あなたが「選ぶ箱を変えてもいいですよ」と言われたら、変えた方が得かそれとも変えても当たる確率は同じかという問題である。
これは数学者を巻き込んだ大論争になったというから面白い。
論より証拠、実際に実験を100回やったというからさらに面白い。NHKさんすばらしい！
結果は御覧の通り、箱を変えたほうが約２倍も得をする。
なぜか？ 答えは次の図に示されている。
すなわち、箱を変えなければ当たる確率は３分の１のままであるが、箱を変えた場合の当たる確率は（３分の１）＋（３分の１）＝３分の２となる。
うーん、参った。見事に間違ってしまった。
現代において確率理論は精緻化されて株式取引に応用されている。コンピューターを使って100万分の1秒単位の高速で大量の売買を行ない、1000回売買して1000勝０敗の成績をあげるとも聞いた。オー、くわばらくわばら。近寄らないに限る。
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