第三角法による作図の効用-例題2-6

第三角法による作図の効用-例題2-7

第三角法による作図の効用-例題2-8

第三角法による作図の効用-例題2-9

第三角法による作図の効用-例題2-10

機械工学関連

第3角法による投影で遭遇する直交行列の例

2005年4月21日にご紹介しました作図例に出てくる例で、この直交行列が出てきますので、その例により直交行列の性質を実例でご紹介致します。
ただし、数学公式が私のP/C技術では厳密に表記出来ないので、少し読みづらいと思いますがご容赦戴きたい。

OXYZ座標系からOX(3)Y(3)Z(3)座標系への正則1次変換のことを説明したいのです。
各座標軸の単位ベクトル（i,j,k ; i(3),j(3),k(3)）の方向余弦は以下の如くなります。

@@@@@@@@i@@@@@@@@j@@@@@@@k@@@
i(3)@@@@0.57735@@@@0.57735@@@0.57735
j(3)@@@-0.40823@@@@0.81646@@-0.40823
k(3)@@@-0.70711@@@@@@0@@@@@0.70711


@@@@@@@0.57735@@@@0.57735@@@0.57735
A=Matrix(-0.40823@@@@0.81646@@-0.40823) とすると
@@@@@@-0.70711@@@@@@0@@@@@0.70711

逆行列 A(-1) を計算すると,Determinant(A)=1 だから、

@@@@@@@@0.57735@@@-0.40823@@-0.70711
A(-1)=Matrix(0.57735@@@@0.81646@@@@0@@)
@@@@@@@@0.57735@@@-0.40823@@@0.70711

これは、行列 A　の転置行列 A(*) と同じです。

即ち、直交行列には以下の性質があります。
1. Determinant(A)=1 or -1
2. Matrix(A(*))=Matrix(A(-1))

　　
また直交行列ではありませんが、以下のようにベクトルの方向余弦の行列式は、4面体 の体積の計算に使用されます。

4面体（ABCD）の体積 をV とするし、A点から点B,C,Dに至る夫々のベクトル、ベクトル（AB）、ベクトル（AC)、ベクトル（AD）の方向余弦を、L(1)、L(2)、L(3)；M(1)、M(2)、M(3)；N(1)、N(2)、N(3)；とし、夫々のベクトルの長さを、(AB）、(AC)、(AD）とすると

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@L(1) L(2) L(3)
V = 1/6*(AB)*(AC)*(AD)*Determinant(M(1) M(2) M(3))
@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@N(1) N(2) N(3)



@@@@@@@@L(1) L(2) L(3)
Determinant(M(1) M(2) M(3))=Determinant(B)とすると
@@@@@@@@N(1) N(2) N(3)

Square of Determinant(B)=Determinant(BB(*))から

Determinant(B)
=Square Root of (1-Square of cos(a)-Square of cos(b)-Square of cos(a)+2Cos(a)*Cos(b)*Cos(c))

ただし　a、b、c　は　各ベクトル間の角度です。

更に

V = 1/6*(AB)*(AC)*(AD)*SIN(A)

ここのSIN(A)は　立体角正弦　と　いわれるもので

SQUARE OF SIN(A) =4*SIN(s)*SIN(s-a)*SIN(s-b)*SIN(s-c)

ただし　s = (a+b+c)/2　です。

これらは、興味深いことに、それぞれ、3角形の第2余弦法則、およびヘロンの公式に、とてもよく似ています。