微分解析学による昔懐かしい計算について（2）

サイン関数の微分はコサインで、コサイン関数の微分はマイナスのサインだから「sinｘの二次導関数は－sinｘ」のはずである・・。

そこで、微分解析学の公式ｄ²ｙ＝ｆ（ｘ＋ｄｘ）－２ｆ（ｘ）＋ｆ（ｘ－ｄｘ）にｆ（ｘ）＝sinｘを代入してみると


ｄ²ｙ
＝
sin(ｘ＋ｄｘ)－２sinｘ＋sin(ｘ－ｄｘ)
＝
・
・
＝
２sinｘcosｄｘ－２sinｘ
＝
２sinｘ（cosｄｘ－１）
＝
－２sinｘ・(１－cosｄｘ)

ここから、ｄ²ｙ／ｄｘ²＝－sinｘである為には (１－cosｄｘ)/ｄｘ²→１/２ でなくては為らないが、これが成立すると「コサイン関数の原点近傍は ｙ＝１－ｘ²/２ で近似できる」ことが分かる。


これが【微分解析学】だけで素直に証明できるかどうか確かめるには、ようするに微分解析学の一階微分の公式を試すしかない・・。


ｄsinｘ
＝
sin（ｘ＋ｄｘ）－sinｘ
＝
sinｘcosｄｘ＋cosｘsinｄｘ－sinｘ
＝
sinｘ（cosｄｘ－１）＋cosｘsinｄｘ

初項はｄｘ→０に従って→０であるので、第二項だけを考察すると、sinｄｘ／ｄｘ→１であるゆえに与式をｄｘで割った微分商の答えは、

ｄsinｘ／ｄｘ＝cosｘ


ｄcosｘ
＝
cos（ｘ＋ｄｘ）－cosｘ
＝
coaｘcosｄｘ－sinｘsinｄｘ－cosｘ
＝
cosｘ（cosｄｘ－１）－sinｘsinｄｘ

初項はｄｘ→０に従って→０であり、第二項はｄｘ→０に従って－sinｘ（∵ sinｄｘ／ｄｘ＝１）

ｄcosｘ／ｄｘ＝－sinｘ


これでイケルだろう、何よりもイイ副産物があったものである・・ｗ）