ωを超えても可算だからアレフを作った 2008/ 8/17 10:06 [ No.121 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
カントルのしたことはそんなところです！
ωの可算性は明らかですが、それは「自然数を数えるのにまず偶数から数えてそれを数え終わってから奇数を数え始める」という場合の１の順序と同じだからです。
ここから２ωは可算集合です、さらにすぐタブプラウザのようなｎωも、有理数と同じω^2だって、もちろん可算集合を意味する個数です。
それらは数え方の順序によっては同じ個数のように考えることができます。
そんなことからカントルは順序数で無限集合の個数を表すことは止め、濃度概念アレフを作って、自然数と等濃度はアレフ０、実数はアレフ１、と規定いたしました。
対角線論法で出てくるのは非可附番数ωなので実数の濃度に関してはまだ何とも言えません！
とまれカントルは可算集合と見なしうる集合の個数に関して超自然数列を構成しました、それは、１＜２＜・・＜ｎ＜・・＜ω＜ω^2＜・・ω^n＜ω^ω＜・・というものです。
さて、そんなところまで可算集合の個数だったら無限小数を表わしている２^ωは２^ω＜ω^ωゆえに可算ではないでしょうか？
ところが、かの超自然数列を見返してみたら「一つずつ増やす」というペアノ公理に沿っているために倍倍にしていく２^ωは姿を現しません！
それで「証明できない真実」たる資格が出てくるのではないか、そして、それは非ユークリッド幾何学のようにバリエーションが有るのではないか、と、かように疑っている次第・・。
ご理解のほどよろしくお願いしたいように存じまする！
２^ω個について 2008/ 8/18 16:05 [ No.126 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
分かるかな・・、これこそ小数点以下無限桁の区間（０，１）の総数なんだけど？
まず、ここまでは了解できるのかな？
Re: ２^ω個について 2008/ 8/18 16:31 [ No.127 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
ついでに言えば、
すべての有限小数とすべての無限小数とは同じなんだけど・・、分かるかな？
ω^ωが可算個である証明を経て 2008/ 8/19 8:12 [ No.130 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
１）ω^2は有理数ですから可算です。
２）すなわちω^2を二乗したって可算です。
３）おれはω^nどころかω^ωまでいったとしても変わりません！
４）ゆえに２^ω＜ω^ωより実数は可算です。
Re: ω^ωが可算個である証明を経て 2008/ 8/19 10:36 [ No.131 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
＞３）おれはω^nどころかω^ωまでいったとしても変わりません！
× おれは → ○ それは
だが、
ω^ωまでいったら非可算だという基準を作ったっていいとしたら「実数は非可算集合だ」という数学が造られます。
で、
ω^n＜ω^ωより、「実数は可算集合だ」という数学と共に「実数集合は自然数集合よりも真に小さい」という数学の二つが造られるのです。
後者の場合「真に扱うことのできる実数の有限性」に基づくと考えられましょう！
投稿者 :
buturikyouiku
カントルのしたことはそんなところです！
ωの可算性は明らかですが、それは「自然数を数えるのにまず偶数から数えてそれを数え終わってから奇数を数え始める」という場合の１の順序と同じだからです。
ここから２ωは可算集合です、さらにすぐタブプラウザのようなｎωも、有理数と同じω^2だって、もちろん可算集合を意味する個数です。
それらは数え方の順序によっては同じ個数のように考えることができます。
そんなことからカントルは順序数で無限集合の個数を表すことは止め、濃度概念アレフを作って、自然数と等濃度はアレフ０、実数はアレフ１、と規定いたしました。
対角線論法で出てくるのは非可附番数ωなので実数の濃度に関してはまだ何とも言えません！
とまれカントルは可算集合と見なしうる集合の個数に関して超自然数列を構成しました、それは、１＜２＜・・＜ｎ＜・・＜ω＜ω^2＜・・ω^n＜ω^ω＜・・というものです。
さて、そんなところまで可算集合の個数だったら無限小数を表わしている２^ωは２^ω＜ω^ωゆえに可算ではないでしょうか？
ところが、かの超自然数列を見返してみたら「一つずつ増やす」というペアノ公理に沿っているために倍倍にしていく２^ωは姿を現しません！
それで「証明できない真実」たる資格が出てくるのではないか、そして、それは非ユークリッド幾何学のようにバリエーションが有るのではないか、と、かように疑っている次第・・。
ご理解のほどよろしくお願いしたいように存じまする！
２^ω個について 2008/ 8/18 16:05 [ No.126 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
分かるかな・・、これこそ小数点以下無限桁の区間（０，１）の総数なんだけど？
まず、ここまでは了解できるのかな？
Re: ２^ω個について 2008/ 8/18 16:31 [ No.127 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
ついでに言えば、
すべての有限小数とすべての無限小数とは同じなんだけど・・、分かるかな？
ω^ωが可算個である証明を経て 2008/ 8/19 8:12 [ No.130 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
１）ω^2は有理数ですから可算です。
２）すなわちω^2を二乗したって可算です。
３）おれはω^nどころかω^ωまでいったとしても変わりません！
４）ゆえに２^ω＜ω^ωより実数は可算です。
Re: ω^ωが可算個である証明を経て 2008/ 8/19 10:36 [ No.131 / 131 ]
投稿者 :
buturikyouiku
＞３）おれはω^nどころかω^ωまでいったとしても変わりません！
× おれは → ○ それは
だが、
ω^ωまでいったら非可算だという基準を作ったっていいとしたら「実数は非可算集合だ」という数学が造られます。
で、
ω^n＜ω^ωより、「実数は可算集合だ」という数学と共に「実数集合は自然数集合よりも真に小さい」という数学の二つが造られるのです。
後者の場合「真に扱うことのできる実数の有限性」に基づくと考えられましょう！
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