高校物理より「教科書が間違っている」という疑惑について

《問題》なめらかな壁に棒が立てかけてあります。棒と壁のなす角度がθになったときに棒が床にすべり落ちました。棒と床の間には摩擦があり、摩擦係数をμで表すことにします。μの値をθを用いて表しなさい。

この問題は高等学校において剛体のつり合いの問題として解かれます。

［標準的解答］棒の長さを２Ｌとして、棒に加わっている重力を２Ｗとします。さらに棒と壁とが接している点をＡ点として、棒と床とが接している点をＢ点とします。Ａ点から棒に加わる垂直抗力をＦ1とし、Ｂ点における床と棒との間に加わる摩擦力をＦ2とすると、剛体に加わる水平方向の力のつり合いからＦ1＝Ｆ2＝Ｆです。また、同じく垂直方向の力のつり合いからＢ点において棒に加わる垂直抗力は棒の重量である２Ｗに等しいでしょう。

この後でＢ点を中心とする力のモーメントが０になることを用いたらμ＝tanθ/２が得られます。

僕は別な考え方で解きました、それは「剛体内における任意の二点において合力が０であれば剛体はつり合っている」ということを「ある二点においてだけ解いたら必要にして十分である」という着想に基づいています。

このことは僕の頭の中ではすぐに自明事項でした。

ところがそうして解けばμ＝tanθになってしまったのです、ですから他の問題がどうなるかぜんぶ試しました、そうしたら他の問題は力のモーメントを使う標準的解答と同じ値を導いたのです。そこで僕が思いついたのは「これは自由な運動ではなくて壁と床という境界条件に挟まれた動きしかできない」だから違うのだろう、というアイデアです。この棒がすべり落ちるときにはＢ点を中心とした回転をするのではありません、Ａ点からすーっと落ちるのです。

僕は重量を棒の両端において二つの分力に分けることから始めました。

［学会で発表した別解］Ａ点において棒の端に鉛直下向きの重力Ｗが加わりますが、それを棒を斜め下に押し縮める力Ｗ/cosθと水平に壁を押す力Ｗtanθの二つの分力に分けます。壁から棒に垂直抗力Ｗtanθが加わって水平方向はつり合います。つぎにＢ点において棒の端から床に向けて重力Ｗが加わり、床から棒に垂直抗力として同じくＷの力が鉛直上向きに加わります。その垂直抗力を棒を斜め上に押し上げる向きの力Ｗ/cosθと棒の端を壁の逆向きにすべらせる力Ｗtanθに分けることができます。

学会ではこの状態の図を示して棒の両端から内部を伝わる二力はつり合いの関係に有ると論じて静止摩擦係数を「μ＝tanθである」と論じました。

ところがこれではマチガイだったのです・・。

摩擦係数の公式では分母が垂直抗力であって面を垂直に押す力ではないという難点もありました、が、それは瑣末なことだと高をくくっていたのです、で、問題は簡単な実験によって覆されてしまったという顛末。

僕の説明では壁に立てかけたら棒の重量の半分しか測定にかからないはずですがはっきりくっきり全重量が台所のバネばかりによって示されてしまったのです・・。

そりゃ、顔が青くなりましたよ！

そこで、つい最近になって自己満足した考え方は次のようなモノです。Ａ点から棒を斜め上に押し上げる向きの力をさらに垂直抗力Ｗと摩擦力方向の力Ｗtanθに分けてしまうのです。「ひょっとしたら左右に振られた二つのＷtanθはつり合って消えてしまうのではなくて拮抗する関係にあるのではないか」と思ったのです。似たような関係の力は“重力と垂直抗力”や“バネに繋がれた物体の重力とバネの復元力”にも言えます。床面やバネで支えられているからと言って重力を消してしまっていいのでしょうか、僕はよくないと思いました、それはアインシュタインが“生涯で最良の思いつき”と自画自賛したアイデアと一脈通じる着想です。

自由落下する物体は重力によって加速運動をしているのではなくて、地面に支えられたりバネに繋がれたりしている時こそ「慣性力としての重力を感じている」のではないだろうか、というアイデアです。我われは重力運動こそが宇宙空間においては静止状態で、地上に立っているときには加速する自動車の中のような慣性力を感じている、というのが《一般相対性原理》による帰結なのです。

すると両側に向いているＷtanθは打ち消されるべきではなく拮抗していて片方は摩擦力だという可能性が残ってきました。

そうしたら棒の両端から内側に向かっているＷ/cosθはつり合わずにＡ点からＢ点に向かうモノだけが残るので、力学の規則から作用線に沿って移動させまして、Ｂ点において地面を斜め下向きに押していただきます。そうするとあれやこれやで垂直抗力の合計は２Ｗとなり、摩擦力の半分はすでに支払っているものの、その合計としたら２Ｗtanθとなるので、めでたくμ＝tanθという「摩擦角と同じだ」というエレガントな結論を堅持させることができます。

Ｐ．Ｓ．
もちろん以上の事は実験によって明らかにされなければ為りません、し、また量子力学的混ざりがこんな所にまで顔を出していて、μ＝tanθ/√2なんてゆー突拍子も無い結論が待ち受けているかもしれないのです・・、では、チャオ？